一类“追逐”型应用题的推广
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摘要：追逐型应用题的教学是一个相当重要的教学案例，抓住这样的教学案例，不但能提高学生的认知水平，而且对提高教师的教学质量，也有极其重要的意义
关键词：数学教学；追逐型应用题；推广
中图分类号：G421 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）09-0223-03
在中小学的数学教学中，常遇到一类以“追逐”形式出现的应用题，这类应用题遍及小学、初中、高中，有时还与生活实际密切联系，成为数学生活化的典型。“追逐”型应用题的原形是这样的：甲与乙在同一方向作匀速直线运动，其中，甲先走，但速度较慢，乙后走，但速度较快，问多长时间或多远路程时，乙可以追上甲。
这类问题尽管五花八门，形式多样，但解决方法却非常简单，那就是抓住
一个关键：两个人所走的路程相差为一个常数（成为追逐路程）；
一个公式：追逐时间=追逐路程?摇两者速度差
一、直线上的追逐运动
例1：小红从生活小区以每小时5千米的速度步行去学校，半小时后，小玲也从同一小区以每小时10千米的速度跑步追赶，问经过多长时间，小玲追上小红？
解1（算术解法）：小红先走的路程为5×0.5=2.5千米，小玲之所以能追上小红，是由于小玲速度较快而实现的，因此，小玲追上小红的时间应为
2.5÷（10-5）=0.5（小时）
解2（方程解法）：设x小时后，小玲追上小红。则小红所走过的路程为5×0.5+5x；而小玲所走过的路程为10x，依题意，得方程10x=5×0.5+5x；解得x=0.5（小时）。
二、圆周上的追逐运动
例2：圆园与宁宁在半径为50米的圆形运动上进行长跑训练，圆园先跑5圈，宁宁再起跑，已知圆园2分钟跑1圈，宁宁1分钟跑2圈，问经过几分钟，宁宁追上圆园？
解：设经过x分钟，宁宁追上圆园。
则在这个运动过程中，宁宁走过的路程为2×2π×50x，圆园走过的路程为5×2π×50+0.5×2π×50x，依题意，得方程2×2π×50x=5×2π×50x+0.5×2π×50x。
解之得x=■=■（分钟）
三、时钟上的分针、秒针与时针的追逐运动
时钟上的时针，分针，秒针不停地作追逐运动，分针追时针、秒针追分针、秒针追时针，这些运动遵循一定的规律，现在提出一个问题：在零点到12点的十二个小时内，①时针和分针重合多少次？在什么时刻重合？②时针和秒针重合多少次？在什么时刻重合？③分针和秒针重合多少次？在什么时刻重合？
我们知道，时针，分针，秒针作的是匀速圆周运动，时针走得最慢，十二个小时走一周；分针速度次之，一个小时走1周；秒针走得最快，一个小时走60周，这三条针不停地运动，分针赶时针，秒针赶分针，重合了又超，超了又重合，不断地重合，又不断地超，是一个典型的数学应用题中的“追逐”模型。按每运动一周就是走了2π弧度，那么，设时针速度v1，分针速度v2，秒针速度v3分别表示为：
v1=■=■/小时；v2=2π/小时；v3=120π/小时
假设运动时间为t，则
1.时针和分针的运动规律是（v2-v1）·t=2nπ?圳t=■
即（2π-■）t=2nπ 解之得 t=n+■×n
由于一天十二个小时分针走了12周，故n的可取值为
n=0，1，2，3，…，11.
也就是说，在一天十二个小时内，时针和分针重合12次，这12次重合的时刻分别计算如下：
当n=0，则t=0时=0时0分0秒
当n=1，则t=1■时≈1时5分27秒
当n=2，则t=2■时≈2时10分55秒
…………
当n=11，则t=11■时=12时≈12时0分0秒
将计算结果列表如下（略）
有趣的是，这12次时针和分针的重合时刻构成一个等差数列，首项是0，末项是12，公差是■.数列的和是S=■=72（小时）.
2.时针和秒针的运动规律是：（v3-v1）·t=2nπ?圳t=■
即（120π-■）t=2nπ 解之得t=■n.
由于秒针一个小时走60周，十二个小时内走720周，故n的可取值为：
n=0，1，2，3，……，719.
也就是说，在一天十二个小时内，时针和秒针重合720次，这720次重合的时刻分别计算如下：
当n=0，则t=0时=0时0分0秒
当n=1，则t=■×1=■时≈0时1分1秒
当n=2，则t=■×2=■时≈0时2分2秒
…………
当n=719，则t=■×719=12时≈12时0分0秒
将计算结果列表（略）。
这720次时针和秒针的重合时刻也构成一个等差数列，首项是0，末项是12，公差是■.数列的和是S=■=4320（小时）.
3.分针和秒针的运动规律是：（v3-v2）·t=2nπ?圳t=■
即（120π-2π）t=2nπ 解之得t=■×n
由于秒针在每个小时内走60周，故n的可取值为：
n=0，1，2，3，……，59.
也就是说，在每个小时内，分针和秒针重合60次，在一天十二小时内重合共720次，其中0时—1时重合的时刻分别计算如下：
当n=0，则t=■×0=0时=0时0分0秒
当n=1，则t=■×1=■时≈0时1分1秒
当n=2，则t=■×2=■时≈0时2分2秒
当n=3，则t=■×3=■时≈0时3分3秒
…………
当n=59，则t=■×59=1时=1时0分0秒
以后的每个小时，分针和秒针重合的时刻都遵循以上的规律。比如
1时—2时重合的时刻分别计算如下：
当n=0，则t=1+■×0=1时=1时0分0秒
当n=1，则t=1+■×1=1■时≈1时1分1秒
当n=2，则t=1+■×2=1■时≈1时2分2秒
当n=3，则t=1+■×3=1■时≈1时3分3秒
…………
当n=59，则t=1+■×59=2时=2时0分0秒
11时—12时重合的时刻分别计算如下：
当n=0，则t=11+■×0=11时=11时0分0秒
当n=1，则t=11+■×1=11■时≈11时1分1秒
当n=2，则t=11+■×2=11■时≈11时2分2秒
当n=3，则t=11+■×3=11■时≈11时3分3秒
…………
当n=59，则t=1+■×59=12时=12时0分0秒
时钟的时针、分针、秒针作不停顿的“追逐”运动，而每一条针又是作各自的匀速圆周运动。这种运动就发生在我们身边，发生在我们眼前，似乎那么简单，又是那么平凡，然而，它体现出来的数学问题却是那么有趣，那么生动，那么奇妙，那么引人入胜。挖掘生活中的数学问题，会增长我们的见识，让我们发现数学在生活中的应用，提高学好数学的信心。
这样的教学案例值得我们探讨，从中不但使我们享受数学在生活中的乐趣，也能激发学生学习数学的热情。
参考文献：
[1]孟坤.钟表里的数学问题[J].高中数学研究，2006，（9）：7-9.
[2]王宏梅.由“黄金椭圆”联想“黄金双曲线”[J].中学教研（数学），2006，（8）：14-15.
基金项目：广西新世纪教改项目“民族地区高校数学教师教育中案例教学的理论与实践研究”（编号：2011JGB108）
作者简介：韦深培（1976-），女（壮族），宜州市人，宜州市洛西中学一级教师，主要研究中学数学教育教学；肖春梅（1968-），女，东兰县人，河池学院数学系副教授，主要研究数学教师教育。
通讯作者：肖春梅，广西新世纪教改项目主持人。