数学建模在常微分方程建模中的应用
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【摘要】根据事物的运动以及演变规律，探寻各元素之间的制约以及影响关系，用数学公式将其表达出来，并借助数学方法加以解决的过程被称为数学建模.数学建模由于能够有效解决多种实际问题，促进学生实践能力以及应用能力提升，已经被广大的师生所认可.在实际问题建模的过程中，常常会涉及常微分方程，所以，借助常微分方程理论，构建常微分模型是非常常见的，其已经成为了解决实际问题的重要工具.本文重点探索数学建模思想在常微分方程建模中的实际应用.
【关键词】数学建模；常微分方程；实际应用
近年来，随着教育教学改革的不断深入，高校的教育目标逐渐由偏重于理论教学向实践教学以及创新模式教学方向发展.教师更加注重学生实践能力和创新能力的培养.数学建模是将实际问题与数学知识相联系的重要桥梁，借助数学模型的构建，很多重要的实际应用问题被巧妙解决.例如：厂房分配问题、原材料运输路线问题以及商场选址问题等.常微分方程建模便是数学建模思想运用的一个重要类型.本文重点探索数学建模思想在常微分方程建模中的应用.
一、常微分方程建模的主要方法
（一）根据实际问题包含的条件构建常微分方程模型
像气象学、天文学这类实际问题中，常常存在一些隐含的等量关系，为构建常微分方程模型提供了必备的条件.例如：等角轨线，同已知曲线或者曲线族相交成给定角度的一条曲线.由此可知，等角轨线的切线同对应的曲线或者曲线族的切线形成了一个给定的角度.这一关系，便可以构建一个常微分方程.同时，这一条件还说明，等角轨线同曲线相交点的函数值是相等的，进而可以构建出有关等角轨线的柯西问题模型.
（二）借助基本定律或者公式构建常微分方程模型
类似于物理学中的牛顿第二运动定律、虎克定律以及傅里叶传热定律的一些基本定律、公式，高校学生并不陌生.而在掌握这些定律、定理的具体应用之后，便可以在解决实际问题时作为常微分方程建模的重要模型构建条件.其实，很多实际问题都可以借助这些定律构建数学模型，例如人口的增长问题、经济学问题以及生物学问题等.
（三）借助导数定义构建常微分方程模型
导数是微积分中的一个重要概念，其定义表示为：
dy1dx=limΔx0f（x+Δx）-f（x）1Δx=limΔx0Δy1Δx.
如果函数f（x）可微，则dy1dx在实际应用中可记为y相对于x点的瞬时变化率.这一含义可以在很多实际问题解决中加以运用.例如：常见的人口问题，人们在对人口进行统计的过程中，常常会计算人口的增长速率；在各类放射元素衰变过程中，常常需要计算出其具体的衰变率；在经济问题中，也是常常会涉及一些“边际问题”.类似的问题还有很多.可见，导数的定义在常微分方程建模中的应用十分广泛.
（四）借助微元法构建常微分方程模型
在实际问题中，探寻微元之间的关系，并借助微元法构建微元关系式，进而构建数学模型.通常，在一个实际问题中，涉及的变量满足以下条件时，便可以构建此类数学模型.
变量y是和自变量x在区间[a，b]内有关的量，y在区间[a，b]内有可加性，部分量Δyi≈f（ξi）.具体的构建过程包括：根据实际问题的具体情况，确定一个自变量x，并将其变化区间确定为[a，b]，在选定的区间[a，b]中选取一个任意的小区间[x，x+dx]，计算出该区间部分量Δyi.，将Δyi表示成为一个连续函数在x处的值f（x）与dx的乘积.即：Δyi≈f（x）dx，记f（x）dx=dy，其中，dy成为量y的微元.在等式两边同时积分，便可以得出变量y的值.这种方法被广泛应用到多个实际应用领域.例如：空间解析几何中曲线的弧长、旋转曲面面积或体积等.在代数领域中，常常利用该方法解决流体混合问题.在物理方面，亦会借助该方法解决压力、变力做功等问题.
（五） 模拟近似
当遇到一些较为复杂，并且其中隐含的规律并不清晰的实际问题时，常常会借助模拟近似法构建常微分方程模型.此类模型在建立的过程中，常常事先做一些合理的假设，凸显所要研究的问题.由于建模过程中，涉及很多近似问题，所以要对所得解的有关性质进行分析，多与实际情况进行比较，确保建立的数学模型符合实际情况.
二、 常微分方程建模实例分析
（一）一阶线性常微分方程模型中的打假模型构建
1.问题的提出
一直以来，打假问题是全社会共同关注的问题.随着市场经济体系以及法律、法规的逐步完善，假冒伪劣产品已经得到了有效的遏制，但是仍有很多的造假分子十分猖獗.为了有效地促进打假工作的顺利进行，人们借助一阶常微分方程模型的构建，对打假过程进行系统分析，并得出最优的实施方案.
2.模型假设
（1）假设时刻x，f（x）为x时刻假冒伪劣产品的数量，并假设f（x）为关于自变量x的连续函数.（2）假设某区域伪劣产品的制造者数量相对稳定.换句话就是在一定的时间内，伪劣产品的生产数量为常数a.（3）假设在一定的时间内，打假掉的产品的数量为固定数b.（4）假设在一定时间内，打假的产品数量同x时刻的假冒伪劣产品数量满足正比例关系，即：kf（x），其中k为打假强度系数，该系数与打假资产成正比关系.（5）假设当x=0时，市场中假冒伪劣产品的数量为f0.
3.模型构建
根据微观模型守恒定律，可以得出Δx时间间隔内，具备：
f（x+Δx）-f（x）=[a-b-k·f（x）]Δx.
令c=a-b，则有：
f（x+Δx）-f（x）=[c-k·f（x）]Δx.
等式两边同时除以Δx，则：
f（x+Δx）-f（x）1Δx=c-k·f（x）.
令Δx0，便得出打假模型为：
df1dx=c-kf，
f0=f0.（1）
4.模型应用
（1）当c=0时，f（x）0，即在单位时间内，伪劣假冒产品的生产数量和打假数量持平，社会中不存在假冒伪劣产品.
（2）当a>0，k0时，ft+∞，说明当对市场中的假冒伪劣产品放任不管时，存在于市场中的伪劣产品将严重破坏正常的市场秩序.
（3）这种变化过程同“生命周期”相类似.意思是说，在市场经济初期，造假并不多见.随着市场经济的快速发展，造假活动日益猖獗.当市场经济环境达到一定水平，这种问题将会得到有效遏制，最终归向平衡.
（二）二阶常微分方程建模中的追击问题
1.问题提出
实际生活中，经常会遇到追击问题.例如：动物世界中的老虎和羊，战场上的子弹与目标以及生活中赛跑比赛等.
2.模型假设
（1）构建一个坐标系，假设马从原点出发，并沿着y轴以速度a向前行进，老虎在（b，0）点出发，并以速度c追击马.
（2）老虎和马在同一时刻发现对方，并开始追击过程.
（3）追击者和被追击者的方向一致.
（4）老虎的速度方向不断变化，其追击路线可认为是一条光滑的曲线，设定为：f（x）.
（5）在t小时后，马逃到了（0，at）处，老虎抵达（x，f（x））处.
3.模型构建
由导数的几何意义可以得出：
df1dx=f-at1x.（2）
即：
xf′-f=-at.
分别对x两边求导，由已知ds1dt=v，以及弧微分公式ds=1+（f′）2dx，得出：
xf″=a1v1+（f′）2.
即老虎追马的运动轨迹模型.
某些类型的跟踪导弹对目标追击的数学模型与上述老虎和马追逃的数学模型相似，根据追击者和被追击者的距离以及被追击者的逃亡范围，通过调整速度即可追上.
三、结论
数学建模思想的庞大功效已经逐渐为人们所认可.常微分方程建模是一种常见的数学模型，其能够有效解决多领域内的多种实际问题.本文仅从几个方面进行分析，希望能够对相关的研究工作者提供一些参考资料.
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