海盗分宝 第3期

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这是一个流传甚广的趣味数学问题，据说这是美国斯坦福大学教授曾用过的一道面试题，引人入胜，趣味盎然，其中蕴含的数学思想方法为众多数学爱好者津津乐道。甚至有好事者统计后宣称：20分钟内能回答出这道题的人，平均年薪在8万美金以上。所谓能解此题者前途无量自是戏言，但这则问题中严密的推理却颇值得玩味。必须指出的是，虚拟假设的“海盗分宝问题”条件和情境与一般人想象有所差异，仅仅是为了问题解答和合情推理的需要。必要铺垫之后，下面进入正题。

问题的条件是：在某个海岛上有5个聪明理性并且贪婪的海盗。聪明是指他们在智力上不存在高低优劣，都能对自己和他人的想法进行精确的推断；理性是指他们都把生存作为选择前提首先考虑，在此基础上再进行理智的得失判断；贪婪是指他们都无一例外地希望自己得到尽可能多的收益，即他们之间绝不存在平分财物之类的公平分配情况。

问题的情境是：这5个海盗有一次抢到了100颗价值连城的宝石，每一颗同样大小同样价值。他们决定按如下规则分配：

1.抽签决定自己的号码(1，2，3，4，5)

2.首先，由1号提出分配方案，然后5人进行表决，如果有不少于半数(即等于一半或多于一半)的人同意，那么就按照他的提案进行分配，否则(即少于一半的人同意)他将被扔入大海喂鲨鱼。

3.如果1号死后，再由2号提出分配方案，然后大家4人进行表决，同样如果有不少于半数的人同意，那么就按照他的提案进行分配，否则他将被扔入大海喂鲨鱼。

4.依此类推

问题的要求是：如果你是第一个海盗(即1号)，你会提出怎样的分配方案才能够使自己的收益最大化。简单地说，就是1号该怎么分配才能使自己不被扔进大海，同时得到最多的宝石数目?

[分析与解答]首先，假定只剩下4号与5号两个人时，4号提出的方案肯定是100，0，即4号得100颗宝石，5号得0颗，因为他同意就能达到一半的同意票，理所当然通过方案得到全部宝石，而5号将一无所有，所以贪心的5号一定不愿意出现这种情况。

假定剩下三个人即3、4、5号时，由3号提方案，3号和5号都清楚，如果3号的方案被否决掉，那3号就被扔进大海，剩下的4、5号就会由4号提方案，那么5号将颗粒无收，所以3号会拿出1颗宝石来收买5号，给4号的是0颗，分配方案是99，0，1。当然什么也得不到的4号肯定反对，而5号只能接受这个方案，因为他不同意的话，根据上面的推测，就会让3号出局，自己必定一无所有。

假定剩下四个人即2、3、4、5时，由2号提方案，2号和4号都清楚，如果2号的方案被否决掉，那2号就被扔进大海剩下三个人的情形，根据上面的推测，4号就会颗粒无收，所以2号会拿出1颗宝石来收买4号，给3、5号的都是0颗，分配方案是99，0，1，0，当然什么也得不到的3、5号肯定反对，而4号只能接受这个方案，因为他不同意的话，根据上面的推测，就会让2号出局，自己必定一无所有。

假定是1、2、3、4、5号分配时，由1号提方案，1号和3、5号都清楚，如果1号的方案被否决掉，那1号就被扔进大海，剩下四个人的情形。根据上面的推测，3、5号就会颗粒无收，所以1号会拿出1颗宝石给3号，再拿出1颗宝石给5号，而给2、4号的都是0颗，分配方案是98，0，1，0，1，当然什么也得不到的2、4号肯定反对，而3、5号只能接受这个方案，因为他俩若有一个不同意的话，根据上面的推测，就会让1号出局，他俩必定一无所有，有1颗总比没有强吧!因此1号的这种方案既保证了自己能得到超过一半的赞同票，同时又保证了自己收益的最大化，所以这是1号最为正确合理的分配方案。

从本题的解答不难看出，若想得出正确合理的分配方案，我们应该利用逆向思维从最简单也是最极端的状况人手，在推断结论的基础上不断递进分析，逐步进入题意情境，靠近所求结果。这种反向思考和递推策略是解决这个问题的关键，我们应该引起足够重视。