构造法解题初探
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问题是数学的心脏.学习数学必须善于解题.解决问题一般是在问题给定的题目里由题设来推出结论.但对于某些问题，如果直接推理有时不能顺利进行，因而不得不寻找某个来沟通题设和结论的桥梁，这样的桥梁往往隐含在题设之中，它需要我们去发现，去构造.这种通过构造题目本身所没有的解题桥梁――数学模型、实例和辅助元素，从而达到解题的方法，就是构造法.
构造法解题的主要特点是“构造”，而“构造”的实质就是一种转化，一种将原来的问题转化或者说化归为一个新的、较易解决的甚至是已经解决的问题.运用构造法解题时，审题是最关键的，我们要仔细读题，认真观察，从中发现隐含在题目中的信息，并寻找出和它等价的信息构造所求问题的具体形式，或是和它相关的知识，解出所构造的问题，从而使问题顺利解.因此，运用构造法解题，需要掌握牢固的基础知识，熟练的技能和技巧，另外还要有良好的观察力和一定深度的思维能力，但关键在于能否将问题等价转化为自己所熟知的问题来加以解决.本文将从类比构造、归纳构造、逆向构造、联想构造、直觉构造等方面对构造法在解题中的应用问题进行探讨.
一、 类比构造
用构造法解题就是要根据题目的背景、结构特点，构造出能够反映原来问题的题设和结论的关系，但又比原来问题简易清晰的数学模型.为了找到这样的数学模型，就要在我们原来已经掌握的知识结构中充分联想和回忆，需要运用类比的数学思想通过触类旁通，重新构造出与原问题相似的新的数学模型.
【例1】 求证：|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|.
分析：将|a+b|与|a|+|b|看作一个量作比较，容易发现原不等式两边的形式完全相同.由此启示我们去构造一个更一般的的函数形式：函数f(x)=x1+x,x∈［0，+∞).用研究函数的增减性来代替不等式的证明.
而函数f(x)=x1+x在其定义域内单调递增，因有|a+b|≤|a|+|b|，所以f(|a+b|)≤f(|a|+|b|).因此，原不等式成立.
运用同样的方法，还可以推导出相类似的不等式：
|x1+x2+…+xn|1+|x1+x2…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|1+|x1|+|x2|+…+|xn|.
【例2】 已知x，y∈［-π4,π4］,a∈R且x3+sinx-2a=0， ①4y3+siny•cosy+a=0. ②
求 cos(x+2y)的值.
分析： 将②×2，化成(2y)3+sin2y+2a=0，比较①式中x3+sinx与②式中(2y)3+sin2y，这两个式子的模型完全类似.借此可以构造更一般的函数式，即函数f(t)=t3+sint，t∈［-π2,π2］,易证f(t)在［-π2,π2］上单调递增.
题中条件变为f(x)-2a=0，f(-2y)-2a=0，
解得f(x)=f(-2y)，
所以x=-2y，
即
cos(x+2y)=1.
这样，通过类比而构造函数f(t)，利用函数的性质，使问题容易解决.
二、 归纳构造
【例3】
平面内有n个两两相交的圆，并且任三个圆不经过同一点，试问这n个圆把平面分成多少个区域？
【例4】 平面上有n条直线，两两相交，且没有三条直线交于一点.试问这n条直线能把平面分成多少个部分？
【例5】 在空间有n个平面，其中任何两个都不平行，任何三个都不经过同一直线.试问这n个平面将空间划分成多少部分？
这是一类比较抽象、复杂的题目.由于n是正整数，当n从1开始越来越大时，要求的数据就会越来越复杂，越来越大，而且还会容易出现错漏的情况.我们知道，题目要求的区域数和部分数和题目里的元素即圆、直线、平面的个数n存在着函数关系，由此可以构造函数f(n)，由于n是正整数，那么可以考虑从特殊到一般的思维方式来归纳构造，即从特殊的f(1)、f(2)、f(3)进而推导到一般的f(n).
现在对例3做构造分析：
当n=1时，显然有f(1)=2.
当n=2时，第二个圆被分成两段弧，每段弧将第一个圆分成的每个区域分成两个区域，即f(2)=2+2.对第n-1个圆再增加一个圆，这第n个圆与原来的n-1个圆中的每一个圆都有两个交点，一共就有2(n-1)个交点把第n个圆分成2(n-1)段弧，而每段弧将原来的一个区域分为两个区域，一共增加了2(n-1)个区域，
即f(n)=f(n-1)+2(n-1)，
因此有f(2)=f(1)+2×1；
f(3)=f(2)+2×2；
f(4)=f(3)+2×3；
…；
f(n)=f(n-1)+2(n-1).
以上各式相叠加得
f(n)=f(1)+2［1+2+3+…+(n-1)］＝
2+2×［1+(n-1)］(n-1)2＝
n2-n+2.
三、 逆向构造
逆向构造就是按照逆向思维方式（逆向思维也叫求异思维，它是从事物或观点的反方向来思考的一种思维方式）.让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面进行推导，对于某些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考或许会使问题简单化，甚至因此而有所发现，创造解题的奇迹，这就是逆向构造法的魅力.
【例6】 求和：Sn=1•2•3+2•3•4+3•4•5+…+n(n+1)(1+2).
分析：如果按照一贯的求和方法去考虑这个题目是比较困难的，我们不妨逆向思考，构造一个比Sn数列更高阶但结构相似的数列：
S′n=1•2•3•4+2•3•4•5+3•4•5•6+…+n(n+1)(n+2)(n+3).
令ak=k(k+1)(k+2)，
bk=k(k+1)(k+2)(k+3)，k=1,2,3,…,n.
找出bk与ak的关系bk+1-bk=4ak+1，
问题就可以解决.
这是一种与由繁到简的习惯方向完全相反的思考途径.
四、 联想构造
联想思维是发散思维，它是由一事物想及另一事物的思维方式和过程.而通过事物间的形式、结构、范围、关系等因素进行联想而引发构造是进行构造的常见思维方式.
【例7】 已知α，β,γ∈(0,π2),且cos2α+cos2β+cos2γ=2，
求证：cotα+cotβ+cotγ≥32.
分析：由已知条件cos2α+cos2β+cos2γ=2联想到高中立体几何中“长方体的一条对角线与各个面所成的角分别是α、β、γ,求证：cotα+cotβ+cotγ≥32”.
构造几何模型：长方体ABCD-A′B′C′D′（如下图）.
设长方体一条对角线与各个面所成的角分别是α、β、γ，此时其长、宽、高分别为a、b、c，易知：
cotα=b2+c2a,cotβ=a2+b2c,cotγ=a2+c2b.
由不等式x2+y2≥12(x+y)2(x,y∈R)可证.
【例8】 证明：(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2=(2n)!n!n!.
分析：由(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2的形式联想到二项式展开式，于是构造函数f(x)=(1+x)n(1+x)n.f(x)展开式中xn项的系数是(C0n)2+(C1n)2+…+(Cnn)2.又因为f(x)=(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n的展开式中xn项的系数是Cn2n=(2n)!n!n!.原式可证.
五、 直觉构造
【例9】 求sin10°•sin30°•sin50°•sin70°的值.
设A=sin10°•sin30°•sin50°•sin70°，
构造对偶式：
B=cos10°•cos30°•cos50°•cos70°.
由A•B可求出A的值.
对于式子B=cos10°•cos30°•cos50°•cos70°的构造，其思维过程是凭借感性经验、已有的数学知识和潜在的解题意识汇合作用而产生的想法.它是一种直接的领悟性的思维方式.钱学森教授说过：“直觉是一种人们没有意识到的对信息的加工活动，是在潜意识中酝酿问题，然后与显意识突然沟通，于是一下子得到了问题的答案，而对加工的具体过程，我们则没有意识到.”这种创造性思维构造，我们称为直觉构造.
通过以上的探讨，我们得到以下几点启示：
(1)构造思想在解决数学问题中起到简化、化归和桥梁作用，要运用这种方法，要求学会运用各种基本方法，针对题目特点进行创造性联想.
(2)运用构造法解题，可以使数学知识各个分支能够互相渗透，有利于提高我们分析问题和解决问题的能力.
(3)数学各分支知识为构造提供了广阔而丰富的背景，因此，只有深刻领会各分支的数学基础知识，熟悉知识间的相互联系，才能灵活运用构造法解题.
(4)构造法解题思想在科学思想方面给人启迪，它可以培养人们目的的明确性、思维的条理性、行为的准确性，构造法解题的思想方法在教学中对学生数学思想的培养起着重要作用.例如利用数形结合来构造图形的方法解题，就是这一重要思想的体现.解题中不仅培养了学生数形结合的数学思想，促进了学生构造思维能力的发展.同样，构造法解题还可以培养学生的类比思想、化归思想等.