对《高等代数》和《解析几何》合并教学的一些认识

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇对《高等代数》和《解析几何》合并教学的一些认识范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘要】从内容及认识规律两方面探讨高等代数与解析几何合并教学的合理、可行性，又给出合并教学后应注意的几个问题。

【关键词】高等代数；解析几何；合并教学

长期以来，高等师范及综合院校的数学专业学生的数学教育是从数学分析、解析几何和高等代数这三门基础课程开始的，通常它们是三门独立的课程，在教学中占有重要的地位和很大的课时比例。高校数学系就是以这三门课为基础组织安排数学专业课程内容和教学体系的。随着现代科学技术的迅猛发展，课程改革作为教育改革的核心环节和教育改革深化的标志，在世界范围内得到广泛的关注和前所未有的重视[1]。高等代数与解析几何的改革是这些改革中的代表。高等代数与解析几何原是两门课程，这种情形不利于开设反映现代数学发展的新课程。如何让学生在相同的时间里获得更多的知识，培养成为基础厚、素质高、能力强、富有创造力的综合素质人才，已成为课程改革的一个极其重要的方面。越来越多的与现代数学和计算机科学有关的课程在客观上要求必须重新安排课程以节省时间。高等代数与解析几何作为传统“三基”模式下的二门基础课程，关系非常密切，几何与代数互为问题、互为方法、互相交融，因而对其进行合理的整合不仅必要而且切实可行。

本文从内容及认识规律等方面探讨高等代数与解析几何合并教学的必要、可行性，又给出合并教学后应注意的方面。

1.两课程的内容决定合并的必要性

高等代数与解析几何是高校数学系课程中联系十分密切的两门基础课程，他们的关系可以归纳为高等代数为解析几何提供研究方法，解析几何为高等代数提供直观的背景。我们知道，作为高等代数的主要内容，线性代数是由二维和三维几何空间的向量代数进一步抽象推广而来的。高等代数的多数概念和方法都有很强的几何背景。比如，高等代数的变换理论中的线性变换、正交变换、仿射变换、射影变换等都是直接由几何产生而来的，而且高等代数的主要研究对象：矩阵，矩阵的等价、相似、相合、正交相合等概念都有明显的几何色彩。一个线性变换在选定基底下可以表示为一个矩阵。两个矩阵等价，实质上就是同一个线性变换在两组不同基下表示之间的关系。矩阵的相似是两个线性空间的线性变换在不同基下矩阵之间的关系。两个矩阵相合就是射影几何二次超曲面的分类问题。正交相合问题是欧几里德空间中二次曲面的正交分类，这些问题都是来源于19世纪的几何学。由此可以看出，解析几何为抽象的高等代数提供了具体、生动的模型与背景。其次，解析几何依靠高等代数来提供研究方法。解析几何又称坐标几何，它主要在空间建立坐标系后，使得空间中的点与坐标建立一一对应，从而空间中的曲线与曲面作为点的轨迹与它的方程联系，这样，就可以将点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程，从而运用代数工具进行研究。因此，在解析几何中有很多概念和方法都是从代数角度来定义和刻画的。比如，解析几何中向量的共线、共面就是用线性运算的线性相关性来刻画的，最终转化为应用行列式来表述；解析几何中的向量的外积、混合积也是通过行列式来表述的。由此可以看出这两门课是“数”与“形”的关系。另外，这两门课都采用了公理化的叙述、演绎方法，都把现代数学中最基本的思想如集合、对称性、线性性、利用等价关系进行分类的思想，映射的观点（如对应、同态、同构）等贯穿始终，从数学思想方法来看，这两门课具有统一性，因而对其进行合理的整合不仅必要而且切实可行。

2.认识规律和教学规律决定合并教学的合理性

在我校，按照教学计划要求，解析几何与高等代数这两门课往往在大学第一学期齐头并进，由于高等代数课的进度跟不上，经常会出现在解析几何课中提前讲授以后在高等代数课中要讲的内容的尴尬场面。这样既浪费了宝贵的课时，又使本该是统一的内容被人为地割裂开。由于代数为几何提供了研究方法，几何为代数提供了直观的几何模型与前景，这样在教学中，学生容易由看得见、摸得着的几何图形或模型（一维、二维、三维图形）从认识上自然过渡到线性代数（如高维空间），知识达到新的高度，认识实现新的升华。实现由直观到抽象、由特殊到一般、由感性认识到理性认识的过渡，符合人对事物的认识规律和教学规律，有利于培养抽象思维和逻辑推理的能力。而且，让学生直接应用代数处理几何问题，可以让他们感受到代数应用的广泛性，让学生接触到的代数是鲜活的知识，替代原先枯燥乏味感觉，提高学习兴趣和效果。高等代数与解析几何的合并教学的做法也是著名数学家陈省身、杨忠道、王叔平等所倡导。最早以南开大学和华东师范大学数学系率先进行此课程的改革与尝试，近几年又有一批学校对此合并教学进行改革，如华南农业大学等。

3.合并后需要注意的问题

3.1 选用合适的教材

目前已有越来越多的高等院校数学系将高等代数与解析几何二门课程合成一门新的课程，相关的教材也不断出现，像南开大学数学系孟道骥教授主编的《高等代数与解析几何》[2]，华东师范大学数学系陈志杰教授主编的《高等代数与解析几何》[3]等都是相当优秀的教材。

针对我校的实际情况，数学系的教师可以一起讨论上面教材是否适合我校的学生，也可以适当的筛选教学内容，或者在有经验的基础上数学系的教师编写适合自己学校学生特点的教材。选择参考教材也很重要，我们现在正在用的教材如：张禾瑞或是北大数学系编的《高等代数》[4]、吕林根编的《解析几何》[5]都是这两门课程的经典教材，我们可以作为教学参考书。

3.2 增加习题讨论课

由于高等代数的内容学生学习起来通常感到比较抽象，虽然有解析几何作为直观背景，但要深入掌握与理解高等代数的基本概念和基本理论有很大的难度，尤其是对大一的同学，因此有必要增加习题讨论课。讨论课中必须重点解决学生在学习中存在的主要困难，把学生从单纯依赖听课、做题中解放出来，变被动学习为主动学习，启发学生通过对习题的讨论如何去积极思考、研究和探索规律。对于习题讨论课，我们可以安排学习好的同学来解决同学中存在的一般问题，然后老师再解决比较难的问题，这可以采用固定的方式如两周一次，教师也可以根据教学的阶段性，每阶段安排一次测验，同时还要精心准备测验的内容。这样，学生基本上就会随时解决学习中存在的问题，老师也会全面掌握学生的学习情况。由于现在大部分学校都没有要求学生上自习课，我感到习题讨论课这一环节，对提高教学质量能起到很好的作用。

3.3 开设数学实验课

素质教育中，很重要的一个方面是对学生能力的培养，数学专业的学生，特别重要的是对其数学思维能力的培养，而直觉思维能力在数学思维能力中又占有极其重要的位置。随着可视化和虚拟环境技术的发展，数学实验已成为传统课程教学改革中日渐重要的一个新增环节，合并课程的一个目的就是能把腾出的课时用于设新的课程，在高等代数与解析几何实施合并教学以后，实验教学已成了新课程不可或缺的重要一环，几何问题的代数化处理，代数问题的可视化处理，一些抽象思维的图形化，既可扩宽思维活动空间，又可增大思维容量，因而可以极大地激发学生的几何直觉思维[6]。实际教学中，如解析几何部分一些复杂的几何图形，若用手工绘图，除了准确性差外，观察起来也不方便，如果采用计算机作图，就可在计算机屏幕上用不同的视角从各个不同的侧面去观察图形。另外，高等代数的大部分计算都比较繁，而且只是一个机械式的呆板的变化过程，很多学生在计算过程中都存在这样那样的错误，对这部分内容，只要在讲清楚基本理论、基本计算过程之后，可以利用计算机进行计算，应尽可能安排学生上机练习。这样一可使数学与计算机紧密结合，提高学生的计算机水平；二可以节约许多课堂的时间。

因此，开设数学实验课，既能得到手工作图难以达到的效果，又能增加学生的实际动手能力，使学生的思维能力在“趣境”中得到很好的锻炼。

4.结束语

高等代数与解析几何的合并教学改革不是对现行的两课进行简单的合合并并、修修改改，而是在现代教育思想指导下整合课程体系和优化教学内容，使之不仅包含两课原有的基本概念和基本原理，还要能把体现当代课程发展特征、两课知识的交叉与渗透反映到教学内容中。该项改革的是否成功，不仅关系到数学专业学生素质的培养，而且对其他专业大学生的数学素质培养也是极其重要，这项改革的成功经验可直接应用到大学数学中的线性代数和空间解析几何教学改革中。两课合并教学改革并没有完成，只是刚刚开始，目前还存在很多问题有待解决，比如，教材[7]的处理都是以高等代数为主线，以解析几何为辅线来编写的，打乱了过去的非常严格的逻辑体系，尤其是解析几何已不成体系了，从内容上看，削弱了解析几何的部分内容。所以需要我们继续努力把它做的更好。

参考文献

[1]张敏.高等代数与解析几何合并设课的教学改革[J].吉林师范大学学报,2003(4):117-118.

[2]孟道骥.高等代数与解析几何[M].北京:科学出版社,1998.

[3]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社,2000.

[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1988.

[5]吕林根.解析几何(第三版)[M].北京:北京高教社,1987.

[6]凌征球.高等代数与解析几何合并教学的一些体会与建议[J].玉林师范学院学报,2005.

[7]王仁发.代数与解析几何[M].长春:东北师范大学出版社,1999.

作者简介：潘全香（1980―），女，河南浚县人，河南科技学院数学系助教，硕士，从事微分几何与解析几何的教学与研究。