一道典型中考题的探究与推广

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如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处。则BC∶AB的值为 。这是2012年绍兴市的一道中考题，本题以我们熟悉的图形翻折变换为背景，主要考查了翻折变换的性质和角平分线的判定与性质，解答此题要抓住折叠前后的图形全等，得出CC′是∠EC'D的平分线是解题关键。

诸如此类将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强。近年来，以矩形为背景的折叠问题在各类考试中屡见不鲜，也是近年中考中的热点问题。

通常，矩形的折叠问题中折起部分往往是一个三角形或是直角梯形，使矩形的顶点落在不同的位置。根据位置的不同，矩形的折叠问题可以分为以下几类。

一、矩形中折起的是一个三角形

1.折叠后，顶点落在矩形的内部

例1.（2012・遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（ ）

A.3■ B.2■

C.2■ D.2■

分析与点评：首先过点E作EMBC于M，交BF于N，易证得ENG≌BNM（AAS），MN是BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长。此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质。解题中应注意辅助线的作法以及数形结合思想的应用。

2.折叠后，顶点落在矩形的外部

例2.（2011・湖南岳阳）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②ABF≌EDF；③■=■；④AD=BD・cos45°，其中正确的一组是（ ）

A.①② B.②③

C.①④ D.③④

分析与点评：①直接根据勾股定理即可判定是否正确；②利用折叠可以得到全等条件证明ABF≌EDF；③利用全等三角形的性质即可解决问题；④在RtABD中利用三角函数的定义即可判定是否正确。此题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质及三角函数的定义，综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高。

3.折叠后，顶点落在矩形的边上

例3.（2012・黔东南州）如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，ABF的面积是24，则FC等于（ ）

A.1 B.2

C.3 D.4

分析与点评：由四边形ABCD是矩形与AB=6，ABF的面积是24，易求得BF的长，然后由勾股定理，求得AF的长。根据折叠的性质，即可求得AD、BC的长，继而求得答案。此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及折叠的性质。此题难度适中，要注意掌握数形结合思想的应用，折叠中的对应关系。

二、矩形中折起的是一个直角梯形

此时折起的两个顶点中必有一个落在矩形的外面，而另外一个顶点则存在不同情况。

1.折叠后，另一个顶点落在矩形的边上（包括顶点）

例4.（2012・泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则FCB′与B′DG的面积之比为（ ）

A.9∶4

B.3∶2

C.4∶3

D.16∶9

分析与点评：设BF=x，则CF=3-x，B′F=x。在RtB′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断DB′G∽CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案。此题考查了翻折变换的知识，渗透数形结合的思想。

例5.（2012・黄石）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（ ）

A.■cm

B.■cm

C.■cm

D.8cm

分析与点评：本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种轴对称变换。根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键。

2.折叠后，另一个顶点落在矩形的外面

例6.（2012・荆门）如图，已知正方形ABCD的对角线长为2■，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）

A.8■

B.4■

C.8

D.6

例7.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（ ）

A.18cm

B.36cm

C.40cm

D.72cm

分析与点评：例6、例7都要充分抓住矩形折叠前后对应的边相等，这样求较复杂的复合图形的周长就可以通过等量变换转化为求矩形周长或是周长的一部分，那么问题就迎刃而解了。

解决矩形中的折叠问题，关键是引导学生发现轴对称图形，利用对称变换，把已知元素集中到一个含未知元素的直角三角形中，尝试用勾股定理求解。

参考文献：

[1]唐耀庭.一道中考折叠题探究[J].中学数学教学参考，2010（11）.

[2]孟防.特殊四边形折叠问题剖析[J].中学数理化，2009（4）.

[3]冯邵.矩形中的折叠问题[J].学科教学，2011（5）.

（作者单位 浙江省绍兴县钱清镇中学）