让学生在数学课堂中思维碰撞,光荣绽放

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摘要： "数学建模"课程进入普通高中校本课堂，是新课程体系改革背景下的一个大胆尝试。它以高中数学知识为载体，在考查学生所学知识的同时，更侧重于培养学生应用数学工具分析解决实际问题的能力。其教学内容和形式不受教学大纲的约束和限制，更有利于教师灵活的设置、组织课堂教学活动。贴近生活的教学实例，更容易调动起学生学习数学的积极性，分组讨论、探究的教学模式更容易让学生迸发出创造性的智慧的火花。本文结合"数学建模"课程开展过程中的一节课例，从学生实际出发，初步探讨如何激发学生的学习热情，发展创造性思维。

关键词：数学建模；基础教育课程改革；校本课程；创造性思维；分组教学

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1006-5962（2013）04-0042-01

在普通高中教学改革的洪流中，我校"数学建模"校本课程的建设和实施已成为数学教学一道亮丽的风景线。尽管对于从未涉足于新课程开发的基础学科的教师来说，这是一项没有经验可以借鉴的艰苦的工作，然而，却是那样的富有创造性和挑战性，吸引着我们狂热地投入到这份迷人的工作当中。站在"新课程"的门槛上，面对着数学教学未来的路，整个教师团队都是充满希冀。新思想，新理念，新方法的教学转变呼唤教师的全新"整装"。本文以"商人过河问题的数学建模"具体课程实施为例，浅谈新课程背景下的一些新举措及其显著效果。

1教师在教学中要学会有艺术性的"示弱"，"不耻下问"，营造和谐、宽松、互助的课堂环境氛围

例如：本节课我一改过去提前站在讲台上的习惯，伴随着上课铃声，我急冲冲跑进教室，装作忘记喊"上课-起立-问好"的一贯程序，劈头就对学生们说：今天老师遇到了一个大麻烦，刚才有个同事给我出了一个数学问题，把我难住了。作为数学教师，我觉得很没面子。请大家帮我分析一下，这个问题怎么解决。同学们惊奇的看着我，带着"什么问题会把老师都难住了呢？"的疑问，关注着我的题目。于是，我以"求救"的姿态把这道探究问题展示在黑板上。

题目：商人过河：三名商人各带一个仆人乘船渡河，一只小船最多只能容纳二人，由他们自己划行。当今社会每个人都想当王者，谁都想成为有钱人，所以就在这个问题中仆人们也想成为商人。仆人们密约，在河的任一岸，一旦仆人的人数比商人多，仆人就会联合起来将商人杀死并抢夺其财物，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，问商人们如何设计过河顺序才能让所有人安全渡河呢？

2精心创设问题情境，问题来源于生活实践中有趣的话题[1，2，3]

看到这个题目，学生们都很感兴趣，因为这个数学问题已经披上了"游戏"的外表。初始体验觉得问题很简单，只是设计过河方案，于是大家开始了自己设计的策略方案的各种尝试。有的同学问：老师，假如一个商人带着一个仆人过河，对面有一个仆人，商人不下船可以算安全么？我说：不可以。有的同学问：老师，仆人可以划船吗？我说：可以。这样，同学们的积极性就被调动起来了，积极主动的学习态度已经形成。

3分组讨论、竞争的团队学习模式，有助于学生自主、合作的探究活动的激励展开

经过几分钟的尝试之后，看着每一位学生的苦思冥想的状态，我提议大家分组进行探究。将全班同学分成4组，各小组讨论提出方案验证，看哪个小组先得出问题的解决方案。此时，沉寂的数学课堂顿时变得沸沸扬扬，学生围绕着这个问题"畅所欲言"，积极探索。我用期待的眼神静静的等待学生的探究结论，心理略有骄傲，在他们激烈的讨论中，我享受着学生"中计"的乐趣。真是"人多力量大，众人拾才火焰高"。经过一番讨论，有一组同学提出了可行的方案，在我的鼓励之下，他们小组展示了自己的研究成果如下：

假设 分别代表商人和仆人的数量：

第一次（0，2）过河；第二次（0，1）过河；第三次（0，2）过河；第四次（0，1）过河；

第五次（2，0）过河；第六次（1，1）过河；第七次（2，0）过河；第八次（0，1）过河；

第九次（0，2）过河；第十次（0，1）过河；第十一次（0，2）过河；

经过交流，各个小组和我一起欣赏了这个小组的创新研究思路。肯定并赞扬了他们处理信息能力、分析解决问题的能力以及合作交流的能力。

4利用学生的成果，发挥教师的知识整合艺术，合理联想、转化，学生将解决一道问题的方法内化为解决一类数学问题的工具[4，5]

赞扬之后，我们难免发现上面的思维方法逻辑性太强，在同时考虑两岸的安全性的前提下，十一步的方案设计难度很大。于是，我引导大家一起剖析他们的思维过程，这个小组的方案完全来自于逻辑推理，那么这类推理过程，能不能用模型化的方法解决呢？ 是数学知识里的什么表示？学生一致回答：坐标。利用数形结合的方法，坐标（0，2）又有怎样的几何意义呢？学生回答：坐标平面内的点。那么上组同学提出的方案，可以模型化，成为坐标平面内的点的跳变吗？请大家采用转化的方法，把上面的方案在坐标平面内表示。仅以此案状态考虑，商人仆人过河实际上等价于点（3，3）如何跳变到点（0，0）。考虑到两岸的安全性，路途中可以经过的点只有（3，2），（3，1），（3，0），（2，2），（1，1），（0，1），（0，2），（0，3），（0，4）。由于船最多容纳两人的限制，点的跳跃只能最多 或 减少2，或者 、 同时减少1。从此岸到彼岸在图上意味着点向右下方跳变，从彼岸到此岸在图上意味着向左下方跳变。很容易得到上图的解决方案（如图1），再把符号语言编译成方案策略，即可得到与上组同学探究的方案。这样，这类逻辑推理问题，就都可以转化为坐标平面内的图形点的变化问题来研究。

5推波助澜，进一步推进学生创造性发散思维到达新境界

通过上述问题的模型化解决，请同学们思考，这种过河方案唯一么？各小组再一次展开了讨论，又有一组同学在理解点跳变过程中，出奇制胜，提出了独具匠心的新方案（如图2）.红色路径代表可以替代以前的等价路径，得到新的渡河方案。学生们在知识建构过程中体验着数学建模的奥秘。

6充分利用学生们思维碰撞的有利契机，引导学生构建开放式自拟题目，适时延伸内容[6]

请学生们出题，并用前面探究的新方法解决问题。很快有的小组学生提出：把"三个商人和三个仆人"过河改成"四个商人和四个仆人"。这种情况靠逻辑思考就十分困难了，但学生们通过采用转化为坐标系内点集跳变模型，很快得出了这个问题是无解的结论。之后，学生又主动修改问题的条件，当"四个商人和四个仆人"一起过河时，将小船最多可乘"两人"改成"三人"，经过建模分析后发现，这种情况使问题变得过于简单。接着，大家又对条件进行了弱化，将小船最多可乘"三人"再改成"小船最多仅有一次可乘三人，且只能是三个商人"，这时，问题的解是存在且唯一的，各个小组均能给出一个十三步解决问题的新策略。在这个环节中，学生们能够即学即用，主动参与，乐于探究，他们敏捷的思维，广阔的知识视角得到了充分的展示和提高，学生在数学课堂之中，潜能得到了光荣的绽放，真正形成了自己的学习和思维方式。

7关注学生的学习效果反馈，为课程内容的进一步设置提供了强有力的可循参考

加涅说："学习的每一个动作，如果要完成，就需要反馈，反馈是学生学习的重要条件"。 下课时，我用欣慰的眼光对学生们的完美成果给予了赞赏，我看到了学生们的思维碰撞过程，并帮助我解决了问题，我以拥有这样的学生团体，并能跟大家一起徜徉在"数学建模"的幽美课堂上感到荣幸和骄傲，我羡慕大家有着合作的机会和共同探究的氛围环境，期待大家下一节课，会有更积极的表现。学生们也总结了自己的收获和体会，学到了联想、转化、数形结合、数学建模等基本的思想方法。由于高中"数学建模"校本课程开发还处于"牛犊"阶段，学生对这节课的内容、形式、方法的体验效果非常好，接下来的课程设置大部分都以这类与学生生活以及现代社会科技发展相联系的、具有广博的科学知识背景的课题出发，来调动学生的学习兴趣，让学生自主的实施、探究、小组讨论交流等方式进行。

这节课内容设置主要是基于大学课程中多步多步决策模型，是有效地解决很广泛的一类问题的方法，同时多步决策问题在新兴科学"人工智能"研究领域有着重要的应用价值。通过"数学建模"校本课，用高中生能理解的方式传授给学生，既开阔了学生的视野，强化了数学的实际应用价值，又培养了学生知识建构、创造的能力，为学生搭建了一条沟通数学理论知识和应用实际问题的桥梁，同时为学生未来学习和发展规划有着巨大深刻的影响。"数学建模"课堂是一个师生共同进步的新舞台，这个舞台的表演者是学生，教师只是知识建构过程中，方向的引导者。我们要努力实现让学生在数学课堂上焕发理性的光彩，让学生的数学思维在课堂教学中光荣绽放，做乐于欣赏的智慧教师。著名教育学家乌申斯基说："没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望。"有时候，刻意的"不择手段"也是教育的高者的一种策略。

参考文献

[1] 谢芳新，构建和谐数学课堂的艺术，中学生数理化・教与学，2013（05）：19.

[2]蒋先钢，高中数学教师之四个"求变"，新课程学习，2012（12）：51.

[3]郑锦华 周文彬，创设情境，提高数学课堂的有效性，课程教育研究，2012（8）：180

[4]章建，数学教学中创造性思维的培养， 中学生数理化・教与学，2013（04）：62.

[5]钱丽，关于高中数学教学中探究式教学法的应用研究，文理导航，2013（01）：26.

[6]徐玲玲，关于高中数学开放式教学的研究，课程教育研究，2012（10）：132-133.