对田径径赛项目不分道起跑线的计算和画法问题的理论探讨
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摘 要：《田径场地设施标准手册》中，800 m跑抢道线和不分道项目起跑线是一条渐开弧线，其切入差仅用图解、列表等方法表示，计算方法不够严谨，得出数据较模糊。运用列参数方程，牛顿迭代法，对田径运动场地径赛800 m跑抢道线和切入差以及不分道项目起跑线，应用计算机C++语言编制程序进行运算，得出数据较国际田联《田径场地设施标准手册》所提供的数据更为精准。
中图分类号：G818.1
文献标识码：A
文章编号：1007-3612（2012）09-0130-04
Discussion on the Calculation and Drawing Method Issues of the Starting Line in the Track and Field Events Regardless of Starting Line
SHI Wen-zhong1， CHEN Yu-shan2
（1.College of P.E.， Fujian Normal University， Fuzhou 350108， Fujian China；2.Fuzhou NO.3 Middle School， Fuzhou 350315， Fujian China）
Abstract：In the IAAF Track and Field Facilities Manual ， the cut-in line in 800 m running and the starting line of the events regardless of the starting line is an involute curve. Its cut-in differentiation is shown by diagrams and tables. The calculation method is not precise enough and the data obtained are ambiguous. This study adopts the method of line parameter equations and Newton＇s iterative method to conduct calculation by C++ language programming in computer to the cut-in line， cut-in differentiation and starting line of the events regardless of starting line to make the data obtained in the IAAF Track and Field Facilities Manual more precise.
Key words： cut-in differential；regardless of the starting line；involute curve
田径运动场地径赛不分道项目起跑线和抢道线的画法，过去的田径竞赛规则、裁判法和有关书籍、教材都将该起跑线画成一条等半径的圆弧，这是不正确的。由于误差不是很大，尚未引起业内专家的注意。笔者在田径场地竣工验收时发现部分塑胶跑道的施工企业也是用这一方法，画成等半径的圆弧。例如：3 000 m障碍跑起跑线，按等半径画弧画成的起跑线，第8道运动员要比第1道运动员约少跑0．15 m。这就违背了比赛公平竞争的原则。
国际田联《田径场地设施标准手册》（以下简称《标准手册》）“……对于所有起跑线，直道的、前伸的和弧线形的，其基本要求是：对于每一名运动员选取的所允许的最短路线是一致的，并且不少于规定距离”［1］。根据此要求和数学理论，可确定不分道项目起跑线和抢道线应该是一条渐开弧线。在《塑胶面层运动场地建设与保养指南》（以下简称《指南》）一书也提到它是一条渐开弧线，同时也提到“一步到位”和“逐步到位”的计算数据［2］。《标准手册》图1，表1列出了切入差数据。但这些数据如何计算得来，其他类似的不分道起跑线（如1 500、10 000 m）应怎样计算，还是没能从理论上说明这个问题。
基于此，为了从理论上解决这个问题，本研究试图应用数学理论和计算方法，得出400 m标准场地不分道起跑线和切入差等数据，以及半径36 m和半径37.898 m的400 m田径场相关数据，提供参考；同时还将对其他非标准场地径赛不分道起跑线和切入差等提供计算方法。期待与业内专家共同商榷。
1 研究方法
1.1 数学计算法 不分道起跑线和抢道线都是渐开弧线，渐开弧线与各跑道线都有一交点。根据渐开弧线原理，通过列参数方程，求得这些交点的坐标，将所求的点依次连接，就可画出所要求得的渐开弧线。因所列的参数方程是非线性方程，不能直接求解，所以本文运用迭代法进行进一步的计算。
1.2 计算机应用法 依据牛顿迭代法得出的方程解得近似值：x2=x1-f（x1）/f′（x1），依次计算， n次计算后，得近似值：xn=xn-1-f（xn-1）/f′（xn-1）［3］，通过C++语言进行编程求出n次迭代后的值。
2 研究结果与分析
2.1 《标准手册》相关的渐开弧线理论及其计算方法 《标准手册》第33页列出了切入差数据（图1，表1）。其基本上是按渐开线原理算出或画出这条抢道线。但有些数据还较模糊：
例：从图1中看出 R2T8D8 是个直角，cos ∠A =R/X ，根据表1 得知 X8=95.751 R=36.8 ， cos ∠A8=36.8/95.751 cos ∠A8=0.38 433 ∠A8=67.397 836°
同样在直角R2R1D8中可求得∠B8=61.804 894°
而表1中∠A8=74.887° ∠B8=68.672°，不知∠A8、∠B8是怎样计算得来。
另外表1中备注栏的说明，使数据有些模糊，不知要说明什么问题，因此上述数据可否选用值得商榷。
2.2 列参数方程用迭代法对渐开弧线的计算 我们可通过数学方法计算求得渐开弧线与各跑道线之间的交点坐标，根据这些坐标点的和已知点连接形成夹角或线段，就可进行测量，求得各道上的交点，然后依次圆顺地连接这些点，形成不分道起跑线或抢道线。
在正式的田径径赛不分道项目起跑线，依第一道起点位置，可分为三种类型：
2.2.1 第1道起点在直段上，通常有2 000 m障碍跑、3 000 m障碍跑起跑线和800 m跑的抢道线
现以半径36.5 m，跑道宽1.22 m，800 m抢道线为例进行分析：
如图1：假设弧AB是800 m抢道线，根据竞赛原则，那么其几何意义是从B点到基圆O最短距离的切线BD长，应该等于第一道直段AC+弧CD长。
以半径为R=36.5+0.3的基圆圆心O为原点，建立坐标系，设A点为800 m抢道线的第一道切入点，C点为从直道进入弯道的切入点。设AC=1 ，=s，B点（x，y）为800 m抢道线的第n道切入点，过B做基圆的切线BD，切点为D，则BD=AC＋=1 ＋s， OD与y轴的夹角为θ（弧度）。在BD上找一点C′，使得BC′=AC=1 ，DC′==s，s=R·θ。则由图2可知第 n道起点B的y坐标：，设计算出的坐标等于K。
B点坐标关于θ的参数方程Ⅰ：
x=（l+R·θ）· cosθ- R· sin θ
（1） …Ⅰ
y=（l+R·θ）· sinθ+R·cosθ （2）
设：计算出的y=K，将其带入式（2），则
K=（I+R·θ）· sin θ+R· cos θ …（3）
公式（3）是一个非线性方程，不能用直接法求解，本文采用牛顿迭代法求解，求得角θ（弧度）。因计算过程较为复杂，本文通过编制C++语言程序，利用计算机进行计算，求得角θ（弧度），进而可求得 OE长度，即B点的横坐标x。
AM是已知的第二直曲道分界线，通过计算求得各道切入差BM，用垂直点量法就可测量Bn点，依次圆顺连接Bn点即可画出抢道线AB弧。
现将各道切入差BM计算结果列表2 ：
2.2.2 第1道起点在基圆上的不分道起跑线，通常有1 000 m、3 000 m、5 000 m和10 000 m起跑线属于这一类。
现以10 000 m起跑线测画进行分析：
1）如图3：当A点在基圆上时，也就是A点与C点重合时，那么这一条起跑线就是以O为基圆的渐开线。
其几何意义是：假设曲线AB是以O为基圆的渐开线，B是曲线AB上的一点，BD切O于D，那么BD=。B点坐标关于θ的参数方程
x=R·θ· cosθ- R· sin θ
y=R·θ· sinθ+ R· cosθ
…Ⅱ
2）我们还可通过直角BDO中已知OD、OB长，通过OD/OB=cosθ，求得∠θ。BD=，通过便可求得∠α，∠β=∠α-∠θ。于是便求得∠β。此法计算更简便些。
计算求得∠β，根据余弦定理可求得放射线长
ABn=R2n+r2-2·Rn·r· cos β。
测量角β=180°—∠β
现根据上述方法，用计算机计算10 000 m起跑线测量数据如表3：
10 000 m跑第二组起跑线计算方法基本同上，数据可参看表3：
2.2.3 1 500 m起跑线是在直段向后延长线上，他的计算和测画包含参数方程Ⅰ、Ⅱ。
仍以半径36.5标准田径场1 500 m起跑线画法进行分析：如图4：
设C是以O′为基圆并与直段CA的交点，A为O为基圆并与直段的交点，M为CA延长线并与的交点，且CM=100 m，OO′=CA=84.39m。
由于1 500 m起跑线（渐开弧线）是在第二曲直交界线后的弯道上，他与弯道上各跑道线交点，是以M点为界，在跑进方向M点左侧的渐开弧线用参数方程Ⅱ，在跑进方向M点右侧的渐开弧线用参数方程Ⅰ。
因此应先判断M点在第几道上，如图5通过计算：求得OM=39.974；而第3条跑道线半径=38.94， 第4条跑道线半径=40.16，
38.94 ＜O M ＜ 40.16，由此确定M点在第三跑道上。
1）如图5，第１～３跑道线与起跑线（渐开线）交点Bn，Bn到O等切点为N，令∠NOBn=∠θ，∠MOE=∠β，用参数方程Ⅱ计算求得∠θ， NBn=R·tgθ 。∠ NOE=360°2πR×=360°2πR×NBn ，∠β=∠NOE－∠θ，求得∠β，则测量角∠AOBn=∠AOM +∠β。
求得∠AOBn，根据余弦定理可求得放射线长ABn=R2n+r2-2·Rn·r· cos ∠AOBn。
2）第4～n道跑道线与渐开线（）交点是关于基圆O′，用参数方程Ⅰ计算，求∠θ′。
设场地直段长l=100 m， 两圆心距离m=84.39m，第n道半径为Rn，
4～ n 道各跑道线圆的轨迹为
…（5）
将式（1）、（2）代入式（5）得到式（6）
2R·l·θ′+R2·θ′2-2m·l· cos θ-2R·m· cos θ′+2R·m· sin θ′+（l2+R2+m2-R2n）=0 …（6）
应用迭代法和C++语言编制程序计算式（6），求得∠θ′带入参数方程Ⅰ，得到（x、y）点坐标。
则测量角 ∠AOB′x= arc tgxy
现把计算结果列表如表4：
2.3 《标准手册》画法数据与本文数据比较 传统的用等半径画弧的方法与本研究用渐开弧线的画法存在一定差距，800 m切入差和1 500 m跑线，因直段距离较长，其误差较小，也许还能接受；3 000 m障碍跑起跑线距分界线较短，其误差已超出规则允许的范围（表5）。由此可见，起跑线距离前方直段分界线越近，造成的误差就越大。
3 结 论
1）不分道起跑线和抢道线用渐开弧线画法，避免传统画法的弊端，使所画的弧线完全符合“对于每一名运动员选取的所允许的最短路线是一致的，并且不少于规定距离” ［1］的要求。因此应用迭代法计算得来的数据，能更准确反映所要求的渐开弧线的各种数
据。以保证不分道起跑线或抢道线更准确，更符合规则要求。
2）本研究编制的计算程序，可计算不同半径的半圆式田径场的不分道起跑线，同样适用于其他非标准的半圆式田径场的不分道起跑线点位计算和画法。
参考文献：
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