江苏省高考数学模拟试卷(八)

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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分

1.曲线y=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程是.

2.若1+5i3-i=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab=.

3.命题“若实数a满足a≤2，则a2

4.把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为.

5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为分.

6.设M={a|a=（2，0）+m（0，1），m∈R}和N={b|b=（1，1）+n（1，-1），n∈R}都是元素为向量的集合，则M∩N=.

7.在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=.

8.设等差数列{an}的公差为正数，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=.

9.设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线.从“①mn；②αβ；③nβ；④mα”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：（用代号表示）.

10.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|.下列四个不等关系：f（sinπ6）f（cos1）；f（cos2π3）f（sin2）.其中正确的个数是.

11.在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2-y23=1的左、右焦点，ABC的顶点C在双曲线的右支上，则sinA-sinBsinC的值是.

12.已知椭圆x24+y22=1，A，B是其左、右顶点，动点M满足MBAB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A，B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为.

13.在ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC（xy≠0），则4x+y的最小值是.

14.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分

15.（本小题满分14分）

如图，平面PAC平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=22.求证：

（1）PA平面EBO；

（2）FG∥平面EBO.

16.（本小题满分14分）

已知函数f（x）=2cosx2（3cosx2-sinx2）.

（1）设θ∈[-π2，π2]，且f（θ）=3+1，求θ的值；

（2）在ABC中，AB=1，f（C）=3+1，且ABC的面积为32，求sinA+sinB的值.

17.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称.

（1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；

（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程.

18.如图，在边长为10的正三角形纸片ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形纸片后，顶点A正好落在边BC上（设为P），在这种情况下，求AD的最小值.

19.已知数列{an}满足an+1+an=4n-3（n∈N）.

（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值；

（2）当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn；

（3）若对任意n∈N，都有a2n+a2n+1an+an+1≥5成立，求a1的取值范围.

20.已知波函数f（x）=ax2+lnx，f1（x）=16x2+43x+59lnx，f2（x）=12x2+2ax，a∈R.

（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线恒过定点，并求出定点坐标；

（2）若f（x）

（3）当a=23时，求证：在区间（1，+∞）上，满足f1（x）

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】 本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分

A.选修41：几何证明选讲

自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小.

B.选修42：矩阵与变换

已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=1-1，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=32.求矩阵A.

C.选修44：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为x=2cosα，y=sinα（α为参数）.以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ-π4）=22.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值.

D.选修45：不等式选讲

若正数a，b，c满足a+b+c=1，求13a+2+13b+2+13c+2的最小值.

【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共计20分

22.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO.

（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；

（2）若平面CDE平面CD1O，求λ的值.

23.过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足AE=λ1EC；点F在线段BC上，满足BF=λ2FC，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P.

（1）设DP=λPC，求λ；

（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

参考答案

一、填空题

1. x-y-2=0

2. -825

3. 真

4. 2627

5. 2

6. {（2，0）}

7. 12

8. 105

9. ①③④②（或②③④①）

10. 1

11. -12

12. （0，0）

13. 94

14. 216（或者65536）

二、解答题

15.证明：由题意可知，PAC为等腰直角三角形，

ABC为等边三角形.

（1）因为O为边AC的中点，所以BOAC，

因为平面PAC平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

BO平面ABC，所以BO面PAC.

因为PA平面PAC，所以BOPA，

在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OEPA，

又BO∩OE=O，所以PA平面EBO.

（2）连AF交BE于Q，连QO.

因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，

所以AOOG=2，且Q是PAB的重心，

于是AQQF=2=AOOG，所以FG∥QO.

因为FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO.

注：第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得.

16.解：（1）f（x）=23cos2x2-2sinx2cosx2=3（1+cosx）-sinx=2cos（x+π6）+3.

由2cos（θ+π6）+3=3+1，得cos（θ+π6）=12，

于是θ+π6=2kπ±π3（k∈Z），因为θ∈[-π2，π2]，所以θ=-π2或π6.

（2）因为C∈（0，π），由（1）知C=π6.

因为ABC的面积为32，所以32=12absinπ6，于是ab=23.①

在ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.

由余弦定理得1=a2+b2-2abcosπ6=a2+b2-6，所以a2+b2=7.②

由①②可得a=2，b=3或a=3，b=2.于是a+b=2+3.

由正弦定理得sinAa=sinBb=sinC1=12，

所以sinA+sinB=12（a+b）=1+32.

17.解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），

因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，所以ba2+b2=13，

于是a2=8b2，即a2=8（a2-c2），所以椭圆E的离心率e=c2a2=78=144.

（2）由e=144可设a=4k（k>0），c=14k，则b=2k，

于是A1B1的方程为：x-22y+4k=0，

故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离

d=|2k+4k|3=2k，

又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，

所以直线A1B1与圆C相切.

（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而k=12，

设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：x-22y+2=0的对称点为（m，n），

则nm-1・24=-1，m+12-22・n2+2=0.

解得m=13，n=423.所以，圆C的方程为（x-13）2+（y-423）2=1.

18.显然A，P两点关于折线DE对称，连结DP，图（2）中，设∠BAP=θ，∠BDP=2θ.

再设AD=x，所以DP=x，DB=10-x.

在ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ.

在BDP中，由正弦定理知BDsin∠BPD=DPsin∠DBP，即10-xsin（120°-2θ）=xsin60°，所以x=1032sin（120°-2θ）+3.

因为0°≤θ≤60°，所以0°≤120°-2θ≤120°，所以当120°-2θ=90°，即θ=15°时，sin（120°-2θ）=1.此时x取得最小值1032+3=203-30，且∠ADE=75°.

所以AD的最小值为203-30.

19.（1）若数列{an}是等差数列，则an=a1+（n-1）d，an+1=a1+nd.

由an+1+an=4n-3，得（a1+nd）+[a1+（n-1）d]=4n-3，即2d=4，2a1-d=-3，解得d=2，a1=-12.

（2）由an+1+an=4n-3（n∈N），得an+2+an+1=4n+1（n∈N）.

两式相减，得an+2-an=4.

所以数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列.

数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列.

由a2+a1=1，a1=2，得a2=-1.

所以an=2n，n=2k-12n-5，n=2k（k∈Z）.

①当n为奇数时，an=2n，an+1=2n-3.

Sn=a1+a2+a3+…+an

=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an

=1+9+…+（4n-11）+2n

=n-12×（1+4n-11）2+2n=2n2-3n+52.

②当n为偶数时，Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）=1+9+…+（4n-7）=2n2-3n2.

所以Sn=2n2-3n+52，n=2k-12n2-3n2，n=2k（k∈Z）.

（3）由（2）知，an=2n-2+a1，n=2k-12n-3-a1，n=2k（k∈Z）.

①当n为奇数时，an=2n-2+a1，an+1=2n-1-a1.

由a2n+a2n+1an+an+1≥5，得a21-a1≥-4n2+16n-10.

令f（n）=-4n2+16n-10=-4（n-2）2+6.

当n=1或n=3时，f（n）max=2，所以a21-a1≥2.

解得a1≥2或a1≤-1.

②当n为偶数时，an=2n-3-a1，an+1=2n+a1.

由a2n+a2n+1an+an+1≥5，得a21+3a1≥-4n2+16n-12.

令g（n）=-4n2+16n-12=-4（n-2）2+4.

当n=2时，g（n）max=4，所以a21+3a1≥4.

解得a1≥1或a1≤-4.

综上所述，a1的取值范围是（-∞，-4]∪[2，+∞）.

20.（1）因为f′（x）=2ax+1x，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为k=2ae+1e，

所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=（2ae+1e）（x-e）+ae2+1，

整理得y-12=（2ae+1e）（x-e2），所以切线恒过定点（e2，12）.

（2）令p（x）=f（x）-f2（x）=（a-12）x2-2ax+lnx

因为p′（x）=（2a-1）x-2a+1x

=（2a-1）x2-2ax+1x

=（x-1）[（2a-1）x-1]x（*）

令p′（x）=0，得极值点x1=1，x2=12a-1.

①当12x1=1，即120，

此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；

②当a≥1时，有x2

③当a≤12时，有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）

从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；

要使p（x）

所以-12≤a≤12.

综上可知a的范围是[-12，12].

（3）当a=23时，f1（x）=16x2+43x+59lnx，

f2（x）=12x2+43x，

记y=f2（x）-f1（x）=13x2-59lnx，x∈（1，+∞）.

因为y′=2x3-59x=6x2-59x>0，所以y=f2（x）-f1（x）在（1，+∞）上为增函数，

所以f2（x）-f1（x）>f2（1）-f1（1）=13，

设R（x）=f1（x）+13λ，（0

所以在区间（1，+∞）上，满足f1（x）

附加题

21.A.解：因为MA为圆O的切线，所以MA2=MB・MC.

又M为PA的中点，所以MP2=MB・MC.

因为∠BMP=∠PMC，所以BMP∽PMC.

于是∠MPB=∠MCP.

在MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，得∠MPB=20°.

B.解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，

即abcd1-1=-1×1-1，得a-b=-1，c-d=1.

同理可得3a+2b=12，3c+2d=8，解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵A=2321.

C.解：ρcos（θ-π4）=22化简为ρcosθ+ρsinθ=4，

则直线l的直角坐标方程为x+y=4.

设点P的坐标为（2cosα，sinα），得P到直线l的距离d=|2cosα+sinα-4|2，

即d=|5sin（α+φ）-4|2，其中cosφ=15，

sinφ=25.

当sin（α+φ）=-1时，dmax=22+102.

D.解：因为正数a，b，c满足a+b+c=1，

所以，（13a+2+13b+2+13c+2）[（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）]≥（1+1+1）2，

即13a+2+13b+2+13c+2≥1，

当且仅当3a+2=3b+2=3c+2，即a=b=c=13时，原式取最小值1.

22.解：（1）不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD1

为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

则A（1，0，0），O（12，12，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

E（14，14，12），

于是DE=（14，14，12），CD1=（0，-1，1）.

由cos=DE・CD1|DE|・|CD1|=36.

所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为36.

（2）设平面CD1O的向量为m=（x1，y1，z1），由m・CO=0，m・CD1=0，

得12x1-12y1=0，-y1+z1=0，取x1=1，得y1=z1=1，即m=（1，1，1）.

由D1E=λEO，则E（λ2（1+λ），λ2（1+λ），11+λ），DE=（λ2（1+λ），λ2（1+λ），11+λ）.

又设平面CDE的法向量为n=（x2，y2，z2），由n・CD=0，n・DE=0.

得y2=0，λx22（1+λ）+λy22（1+λ）+z21+λ=0，取x2=2，得z2=-λ，即n=（-2，0，λ）.

因为平面CDE平面CD1F，所以m・n=0，得λ=2.

23.解：（1）过点A的切线方程为y=x+1.

切线交x轴于点B（-1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点.