美妙神奇的同构式

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数学以美妙神奇著称.数学的美妙，如对称和谐，不是嗅觉、味觉和听觉所能体味到的，要用心灵去触摸；数学的神奇是指解决问题的功能巨大、出其不意、应用广泛和生命力强盛.“同构式”就是具有深刻意义的一种对称和谐的式子.现举几道巧用“同构式”来解决的典型题目，通过解剖、赏析，用心来品尝，我们就可知它的“味道好极了”！

一、 何谓同构式

“同构”是指“结构相同”.设有ax21+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0(a≠0)，两式中除字母x的下标不同外，其余的完全一致，这就是结构相同.去掉两式中的下标，得ax2+bx+c=0，奇迹出现了，x1，x2就是此方程的两根，智慧“碰撞”迸发出灵感的“火花”！当然,同构式决不只限于这类形式，利用美妙神奇激发思维的创造性，类比联想、变通灵活、能力迁移显示的是无穷的魅力和威力.

二、 巧用同构 出奇制胜

若同构式理论只能解决一两道题，则其生命力极为有限.反之，若伸展思维的强劲翅膀，开阔视野、丰富联想、穿云破雾，在“形异”中窥得“质同”，则可发现同构式的理论可在广阔的天地里大显身手.广而言之，在这种理念的启导下，其他许多的数学思想方法、技能、技巧也都可以纵横驰骋、左右逢源、浮想联翩和出奇制胜.

例1 若不同的两条直线a1x+b1y+c=0，a2x+b2y+c=0相交于点(p，q)(p，q不同时为0)，求过不同的两点A(a1，b1)，B(a2， b2)的直线方程.

解析

因为点(p，q)是两条直线的交点，所以a1p+b1q+c=0，a2p+b2q+c=0，

即pa1+qb1+c=0,pa2+qb2+c=0,则可知点A(a1，b1)与B(a2，b2)都在直线px+qy+c=0上，又两点确定一条直线，故过A，B两点的直线为px+qy+c=0.

点睛题目中除下标数字与等号右边的数0外，全都是字母，即便历尽千难万险求出两条直线的交点坐标，再往下仍会感到束手无策.这时同构式理论显奇能！将a1p+b1q+c=0，a2p+b2q+c=0改写为pa1+qb1+c=0，pa2+qb2+c=0，虽然只是交换了两个字母的位置，但观察问题的视角就大不相同了.这就叫变通灵活.

例2 ABC的三边长分别为a，b，c，m为正数，求证：aa+m+bb+m＞cc+m.

解析

构造辅助函数f(x)=xx+m，则f(x)=xx+m=1－mx+m，易知g(x)=mx+m在(0，+∞)上单调递减，则f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以由a+b＞c，得f(a+b)＞f(c)，即a+ba+b+m＞cc+m.

又a+ba+b+m=aa+b+m+ba+b+m＜aa+m+bb+m，故aa+m+bb+m＞cc+m.

点睛不等式两端的三个式子的共同点是??+m，这又是一种类型的同构式，于是辅助函数应运而生.再利用函数的单调性、三角形两边之和大于第三边以及放缩法，突破获证.

例3 如图1，在直角坐标系xOy中，ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c，0).点P(0，p)在线段AO上(异于端点)，设a，b，c，p为非零常数.若直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F.某同学已正确求得直线OE的方程是1b－1cx+1p－1ay=0，那么有直线OF的方程为( )x+1p－1ay=0.

解析直线AB的方程为xb+ya=1,

直线CP的方程为xc+yp=1.

因为点F既在直线AB上，又在直线CP上，所以点F的坐标满足上述两个方程.

两式相减，得1c－1bx+1p－1ay=0，则点F的坐标满足此方程，又原点O的坐标也满足此方程，且两点确定一条直线，故直线OF的方程为1c－1bx+1p－1ay=0，其中x的系数为1c－1b.

点睛与例1一样，若求出直线AB与CP的交点F的坐标，难度太大.题目虽给出了所求直线方程中y的系数，只要求x的系数，似乎是一种提示，但意义并不大.胡乱猜想，又颇具风险.对同构式的观察、判断和应用，对“形异质同”的识别，依靠的是基于思维深刻性的洞察力.“两式相减”，夸张地说，是“神来之笔”；其实熟能生巧，也属平常.

图1

图2

例4 如图2，设抛物线E：x2=2py(p＞0)，M为直线y=－2p上任意一点，过M引抛物线E的两条切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列.

解析

由x2=2py，得y=x22p，则可设Ax1，x212p，Bx2，x222p.

求导，得y′=xp，则两条切线的斜率分别为x1p，x2p，又设M(x0，－2p)，

所以切线MA的方程为y+2p=x1p(x－x0)，MB的方程为y+2p=x2p(x－x0)，

因为A，B分别在直线MA，MB上，所以x212p+2p=x1p(x1－x0)，x222p+2p=x2p(x2－x0)，

分别化简，得x21－2x0x1－4p2=0，x22－2x0x2－4p2=0，

则可知x1，x2是方程x2-2x0x-4p2=0的两根，则x1+x2=2x0，故x1，x0，x2成等差数列.

点睛在这里，同构式的获得过程有些曲折.由A，B分别在直线MA，MB上，得到的式子比较复杂，且不大像同构式.但如果心中有同构的思想，且知欲证的是x1+x2=2x0，便想到了韦达定理和一元二次方程，那么经过一番有目标的“改造”，变别扭为自然，就不难得同构式.

图3

例5 如图3，过点M(2，1)的椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点是F1(－2， 0).

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设过点P(4，1)的动直线l与椭圆C相交于不同的两个点A，

B，且在线段AB上取一点Q，满足|AP|・|QB|=|AQ|・|PB|，求证：点Q总在某定直线上.

两式相减，得8(2x+y－2)λ=0(λ≠0)，所以2x+y－2=0，故点Q(x，y)在定直线2x+y－2=0上.

点睛得到上述两个式子的过程看似很麻烦，其实是很自然的，沉住气仔细点，不难得到.关键是如何通过“改造”得到这两个式子.尝试性地进行化简，再以λ为主元，整理得另一种类型的同构式.目标是消去λ，而λ2的系数相同，λ的系数互为相反数，故相减奏效.

图4

例6 如图4，设点P(x0，y0)在直线x=m(y0≠±m，0＜m＜1)上，过点P作双曲线x2－y2=1的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，设定点M1m，0.求证：A，M，B三点共线.

解析

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知得y1y2≠0，且x21－y21=1，x22－y22=1.

设切线PA的方程为y-y1=k(x-x1)，代入x2－y2=1并化简，

得(1－k2)x2－2k(y1－kx1)x－(y1－kx1)2－1=0.

由Δ=4k2(y1－kx1)2+4(1－k2)(y1－kx1)2+4(1－k2)=0，

解得k=x1y1，则PA的方程为y－y1=x1y1(x-x1)，即y1y=x1x－1.

同理，PB的方程为y2y=x2x－1.

因为点P(m，y0)在切线上，所以有y1y0=x1m－1，

y2y0=x2m－1，

即点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直线y0y=mx－1上.

又点M1m，0也在此直线上，故A，M，B三点共线.

点睛若不是同构式的“见义勇为”，此题获证的难度之大可想而知.

负责任地告诉你，上面各例基本上都是高考试题，耐人寻味吧？

图5

1 如图5，点A，B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已

知OAOB， OMAB于M.求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

2 设A，B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB的中

点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C，D两点.确定λ的取值范围，并

求直线AB的方程.

1 设A(4pt21，4pt1)，B(4pt22，4pt2)，则由OAOB，易得t1t2=－1.

分别以OA，OB为直径作圆，则点M就是这两个圆除原点以外的另一个交点，而两圆的方程分别为x(x－4pt21)+y(y－4pt1)=0，x(x－4pt22)+y(y－4pt2)=0，

即x2+y2－4pt21x－4pt1y=0，

x2+y2－4pt22x－4pt2y=0.

所以t1，t2为关于t的方程4pxt2+4pyt－(x2+y2)=0的两根，则t1t2=－x2+y24px.

所以－x2+y24px=－1，故所求轨迹方程为x2+y2－4px=0，

即(x－2p)2+y2=4p2(x≠0)，表示以(2p，0)为圆心，2p为半径的圆，且去掉原点.

2 λ∈(12，+∞)，直线AB的方程为x+y－4=0.