速度分解的特殊方法

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运动的分解是运动合成的逆运算，遵守平行四边形定则。把一个运动进行分解时，要根据运动的实际效果来确定分运动，高中阶段一般有两类分解方式：

(1)把一个合运动分解为两个互相垂直的平动；(2)把一个合运动分解为一个平动和一个转动。

笔者仅就第二种分解方式在此与同行交流。为了更好地让学生记忆，把该类问题统称为绳联问题，解答方法称为绳子速度相等法。

1 问题提出

3 突破难点

1.如图5所示，两个小球用轻弹簧相连接，沿水平方向向右运动，弹簧处于原长状态。若后面小球的速度大于前面小球的速度，则弹簧将被压缩，反之则伸长，要保证弹簧既不压缩又不伸长，只有两小球沿水平方向有共同速度。

2.请看下面的情景，如图6所示，物体M在一根杆OA上，杆可绕O点转动，物体M可沿杆上下爬。在物体M后系一根不可伸长的轻绳，绳绕过光滑的定滑轮与另一个小物体m相连。

(1)杆绕O点转动，物体M不动，小物体m也不动；如图7所示。

(2)杆不动，物体M沿杆上下爬动，小物体m也上下移动，且两者在相等时间内移动的距离相等。可见，小物体m的移动速度大小取决于物体M沿杆方向爬行的速度。如图8所示。

(3)当杆绕O点转动，物体M沿杆上下爬动，小物体m也上下移动；此时物体M参与了两个运动，一是随杆的转动，速度为v，另一个是沿杆的爬行，速度为v∥。此时也可以看到，两者在相等时间内移动的距离关系是：物体M沿杆爬动的距离等于小物体m上下移动的距离，可见，小物体m的移动速度大小取决于物体M沿杆方向爬行的速度。如图9所示。

3．下面我们换一个角度，从功率关系入手来分析它们的速度大小关系。

在不计绳的质量和形变，以及摩擦阻力的条件下，根据能的转化和守恒定律，外力对绳的瞬时功率大小等于绳对被牵引物的瞬时功率大小功率。如图10所示，F1拉绳的功率为F1v1，v1为拉绳的速度，F2拉车的功率为F2v2cosα，v2为车前进(即合运动)的速度，由F1v1=F2v2cosα，又F1=F2，故v1=v2cosα。

结论 对于绳联(或杆联)问题，由于绳(或杆)不可伸长，绳联(或杆联)物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体速度的关键问题是，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。

4 例题解析例题1 有一半径为R的半圆形竖直圆柱面，现取轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球，悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图11。已知A始终不离开柱面，且细绳足够长，若不计一切摩擦。求A球沿圆柱面滑至最低点时速度的大小。

析与解 当A球从圆柱边缘处沿圆柱面滑至最低点时，走至最低点时速度大小为vA,此时B球速度大小为vB。有关系vB=vAcos45°。

对整个系统,以圆柱的水平直径为零势点,由机械能守恒定律有：

5 一个相似而不相同的问题

例2 如图12所示。光滑半圆上有两个小球(可看作质点)，质量分别为m和M(M＞m)，由不可伸长的细绳挂着。今由静止开始释放，求小球m沿光滑半圆运动至半圆的最高点C点时的速度是多少?(小球m沿光滑半圆运动至半圆的最高点C点的过程中不脱离半圆)

析与解 从12图所示位置由静止释放，到A达到半圆顶点这一过程中M受到重力Mg和牵引力F的作用，m将受牵引力F′和重力mg的作用以及球面支持力FN的作用。m和M都将作变加速运动，本题中m走过的圆弧长度始终等于M下降的高度，故二者的速度大小始终相等。当m从半圆边缘处沿半圆面滑至最高点时，走过的路程是1/4圆弧，而M下降的高度也等于1/4圆弧长。

对整个系统，以半圆的水平直径为零势点，由机械能守恒定律有：

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