小区域矿区测绘中七参数坐标转换模型研究及实现

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【摘 要】目前国家矿区基础测绘目普遍采用西安80坐标系，在进行控制测量时必将涉及54坐标系与80坐标系之间的转换问题。本文在分析七参数Bursa Wolf转换模型的基础上，利用最小二乘分解法解决了矩阵求逆过程中出现的数值不稳定问题，并基于VC++平台实现了两种坐标系统间的转换问题。根据内蒙古包头哈不沁铁矿测量点，对部分GPS网控制点进行54坐标与80坐标的计算转换试验，该模型简单、方便、可行，具有一定的实用意义。

【关键词】坐标转换算法；七参数；GPS；最小二乘分解法

随着GPS技术的广泛应用，以WGS84坐标系统成果越来越多。我国法定的国家大地坐标系为北京54坐标系和西安80坐标系，北京54坐标系采用的参考椭球为克拉索夫斯基椭球体，而西安80坐标系采用的参考椭球为IAG75椭球体[1]。目前国家基础测绘及一些工程项目普遍采用西安80坐标系，在进行控制测量时必将涉及54坐标系与80坐标系之间的转换问题。宗刚军等[2]对坐标转换算法做了相关研究。本文在分析七参数Bursa Wolf转换模型的基础上，利用最小二乘分解法解决了矩阵求逆过程中出现的数值不稳定问题，并基于VC++实现了两种坐标系统间的转换问题。根据内蒙古包头哈不沁铁矿测量点，对部分GPS网控制点进行54坐标与80坐标的计算转换试验，该模型简单、方便、可行，具有一定的实用意义。

1 坐标转换求解模型

在大地测量坐标转换中，广泛使用七参数Bursa Wolf转换模型[3-4]解决54坐标系至80坐标系的转换问题，其模型为：

式中：X0、Y0、Z0是平移参数； 、 、 是旋转参数；X54、Y54、Z54是大地点在旧坐标系中的坐标；X80、Y80、Z80是大地点在新坐标系中的坐标。

上述矩阵模型的线性方程组表达式如下：

在具体转换时先选用最好选用4组重合点（X54，Y54，Z54）和（X80，Y80，Z80），采用最小二乘法解算出方程中的转换参数[5-7]，然后利用上述方程式实现其他数据的统一转换。

2最小二乘分解法

在用最小二乘法求解转换参数时涉及矩阵的求逆运算，以式（3）为例，其误差方程的系数阵A为N*7阶，其中N为公共点数目。利用最小二乘法时需要求ATBA的逆矩阵，也即求一个7*7阶矩阵的逆矩阵，并且对于坐标转换而言，坐标数据一般较大，因此很容易导致求逆的数值不稳定。一种合理的解决方法是采用最小二乘分解法[8]，将系数矩阵A分解为：

这样通过上式无需通过矩阵求逆即可得到转换参数S的最小二乘解。

3算法实现

3.1定义坐标系结构体及转换参数结构体定义坐标系结构体，用CArray地址指针存储和读取数据。

Typedef struct COORD struct

{double x；double y；double z；}COORD；

typedefCArray CCoordinateArray； //定义坐标数组

定义转换参数结构体：

Struct CTLSPARA

{doubleX0；doubleY0；doubleZ0；doubleY0；double x；double y；doublez；double k；}

3.2七参数坐标转换算法在已知某一矿区北京54坐标系大地测量点坐标情况下，根据坐标转换参数，可计算相应的西安80坐标系坐标数据。针对矩阵表达式（3）用最小二乘法解算出其中的转换参数，具体实现过程如下：

1）输入一组54坐标到坐标数组COORD54和一组80坐标到坐标数组COORD80；

2）把矩阵A分解成Q矩阵和R矩阵；

3）根据式（7）计算出坐标换算参数（七参数）：3个平移参数X0、Y0、Z0，3个旋转参数 、 、 和1个尺度参数k；

4）把计算后的参数代入式（3），计算相应的80坐标系的空间间直角坐标X80、Y80、Z80。在用最小二乘法求解未知的测量点数据时，利用QR矩阵分解可避免矩阵求逆过程中出现的不稳定性，使求得的测量点数据与实际数据之间误差的绝对值之和最小，从而提高54坐标向80坐标的转换精度。

4实例分析

利用内蒙古包头哈不沁铁矿的实际测量点坐标数据对程序进行验证，从10个测量点中选取3个同名点参与坐标转换参数的计算。相应的坐标数据见表1。

根据表1计算各坐标轴上的坐标误差XAvg、YAvg、ZAvg：

XAvg = dx/10=-0.01105702（m）

YAvg= dy/10=0.0005652328（m）

ZAvg= dz/10=0.001953834（m）

把计算得到的坐标转换参数代入式（2），输入该矿区测量点的北京54坐标，得到的西安80坐标及误差见表2。

5结论

本文借助于最小二乘分解算法转换北京54与西安80坐标的结果通过表2可看出，转换点位误差最大为1.5cm，最小为0.1cm。该数学模型简单，适于计算机编程解算，借助常规数字成图软件，可以实现小区域范围内新、旧坐标之间的高精度的快速转换，在控制点本身测量精度较高的条件下，坐标换算误差很小，可满足小区域复杂矿区地形图的测量要求，在实际生产科研有一定的应用价值。

参考文献：

[1]杨元喜，徐天河.不同坐标系综合变化算法[J].武汉大学学报（信息科学版），20017，26（6）：509-513.

[2]宗刚军，姚顽强.工程测量新旧坐标转换的一种实现方法[J].西安科技大学学报，2007，27（3）：401-404.

[3]朱华统.大地坐标系的建立[M].北京：测绘出版社，1986.

[4]陈兆林，张书华，闵珊.两种坐标转换模型的精度比较[J].四川测绘，2007，30（5）：224-227

[5]陈正宇，刘春. 基于多参数正则化的空间坐标转换与精度分析[J]. 大地测量与地球动力学. 2008（01）： 38-46

[6]王解先. 七参数转换中参数之间的相关性[J]. 大地测量与地球动力学. 2007（02）：87-90

[7]王解先，王军，陆彩萍. WGS-84与北京54坐标的转换问题[J]. 大地测量与地球动力学. 2003（03）：115-117

[8] 沈云中，胡雷鸣，李博峰. Bursa模型用于局部区域坐标变换的病态问题及其解法[J]. 测绘学报. 2006（02）：95-98