径向基函数方法在曲面重建中的应用
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摘 要：本文介绍了曲面重建的基本原理，论述了RBF插值的数学原理。并应用RBF方法对散乱点云模型进行了验证，实现了散乱点云的三维重建。但该算法目前效率还比较低，不适合应用于大量散乱数据的三维重构，有待于进一步优化。
中图分类号：TP27 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2012）12（c）-0164-01
根据测量的散乱数据进行三维曲面的重建是逆向工程中最重要的步骤之一，是整个逆向工程中非常困难的问题之一，也是当前逆向工程研究的热点问题。曲面重建的目标是找到某种数学表达式，能准确地描述一个现实的物理曲面几何特征，并根据它对曲面进行计算、分析、修改和绘制等操作。
1 曲面重建的概念
在逆向工程领域内，自由曲面的造型一直是研究者关注的核心问题之一。基于点的采样表面是一个在连续曲面上以多分辨率方式组织表示的稠密的离散采样点的集合，它是对模型描述的信息的边界表示。已知三维空间中的采样点不规则地分布于被测实体的外表面，首先假定离散采样点满足必要的采样标准如Nyquist条件，并且这些采样点完全涵盖了被测实体曲面的拓扑与几何信息。Hoppe提出了一个统一性的定义：表面重构就是用一个采样集以及采样处理的一些信近似确定一个曲面S'，该曲面能够合理地逼近未知表面S。
2 径向基函数方法及其理论基础
2.1 径向基函数方法
Carr提出了一种RBFs重建曲面的方法，该方法利用多重调和径向基函数从散乱点云中中重建出光滑流形表面。径向基函数点云模型曲面重建为描述曲面的点云提供了一个紧凑的隐式函数表达式，该表达式不仅经过插值点，并且还具有一定的延展性，利用其延展性可对一些点云模型的局部空洞进行修复。应用径向基函数法重建曲面需要求解一个大型的线性方程组，计算代价比较高。
2.2 径向基函数方法的理论基础
多变量插值的问题描述如下，给定一个包含有N个不同的数据点的集合，以及一个包含有N个实数的集合，要找到一个函数：，满足插值条件如下：
很明显，如果m=2或3，则所有的给定数据点都会通过所定义的曲面。
采用RBF进行插值方法可以归纳为给具有如下形式的基函数：，则函数满足：
在式（2）中是待定系数，是径向基函数，表示欧几里得范数，给定的N个数据点就是径向基函数的中心。
3 散乱点云拟合实例
本节对上一节的算法对部分散乱点云进行了拟合验证，基函数采用的是Hardy的Multi-Quadric函数，按照Turk G提供的方法选取了法向约束点，距离为0.01。如图1和图2所示。图1是一个圆球的点云，数据点162个。图2为小猫模型点云，数据点数为4539个。
4 结论
本文采用径向基函数方法实现了对散乱点云数据的拟合，该方法虽然可以实现数据拟合，并可利用其延展性修复一些点云模型的局部空洞。但应用径向基函数法重建曲面需要求解一个大型的线性方程组，计算代价比较高。为了提高计算效率，可以利用紧支柱径向基函数重建三维表面，即只考虑径向基函数中心局部区域内的点云。
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