一道考查“无限逼近”思想的试题的编制与思考

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在各种测试中,对分类、化归、数形结合及函数与方程等数学思想的考查比较常见,但对于渗透在义务教育阶段的“无限逼近”的思想的考查则较为少见.笔者在教学过程中,通过对一道试题的研究,编制了一道考查“无限逼近”思想的试题,现将其展示出来,以飨读者.

1 最终形成的试题

电焊工想利用一块长5m、宽4m的矩形钢板ABCD做出一个面积尽可能大的扇形.

(1)他先在钢板上沿对角线割下两个扇形,如图1(1),再焊接成一个大扇形.请你求出此扇形ABC(如图1(2))的圆心角(精确到0.1°);

(2)为了制作更大的扇形钢板,可以按如图2所示的方法把矩形钢板的宽2等分、3等分,…,n(n是正整数)等分后,再把每个小矩形按图1(1)的方法分割,最后把割下的扇形焊接成一个大扇形.当n越来越大时,最后焊接成的大扇形的圆心角( )

A.小于90°B.等于90°C.大于90°

2 命题创意来源

本试题是一道改编题,原试题共三问,前两问分别给出了图3和图1,要求学生计算扇形的圆心角,第三问是一个方案设计的问题,要求学生在对比前两个方案的基础上,设计出可以焊接成比图1(2)更大的扇形.第三问考查的是学生对前两个方案的理解、优化方法的提炼和解决问题的能力,同时蕴含了对数学的化归思想的考查.笔者在研究中自然的想到,如果把矩形的宽等分成n份,再按图1(1)所示的方法分割,当n越来越大时,那么能拼成多大的扇形呢?忽然发现,这不就蕴含了无限逼近的数学思想方法吗?于是就有了通过改编原试题的立意、体现考查无限逼近思想的意图.

3 改编前期思考

设想本题所考查的数学知识有:锐角三角函数的相关知识和矩形、扇形的相关知识,考查的主要思想方法有:估算的方法和无限逼近的思想,其中,考查的核心应是无限逼近的思想.

从难度上设想本题是一道中等偏上难度题,应设置为两个小题.其中,第一小题应考查锐角三角函数的相关知识,既保证本题入口较低,又保证为本题的核心考查目标做好铺垫,能力维度上应定位为“知识技能”,属于基本知识与能力的考查;第二小题应考查学生对无限逼近思想的理解,为此,应通过文字描述、图形展示“隐性”揭示该方法,促进学生的理解,但依然能考查学生对该方法的提炼和运用,能力维度上应定位为“解决问题”,属于较高层次的能力考查.

4 试题命制过程

由于本题与原题的核心考查目标完全不一样,所以本题在呈现上也做了很大的改变:

首先,由于原题中的第一个图(即图3)与本题考查的核心目标联系较小,加上控制试题阅读量的需要,故删去原题中的第一问.但原题中的第二问需要保留(即为本题中的第(1)题),这既是试题定位上的需要,又是实现本题核心考查目标的需要;

其次,用图形展示能够使拼接成的扇形圆心角逐渐增大的两个方案,并用文字描述出方案的操作过程,为学生观察、计算、比较、猜想等数学活动做好准备;

最后,对第二问的题型设计做了思考:

若用填空题的题型,由于考查的主要目标并不是要学生求出圆心角的极限值,而是理解并运用无限逼近的思想,用估算的方法大致估计出圆心角的极限值即可,故不易设置需要填的“空”;

若用解答题的题型,虽然它能完整、真实的展示学生的思考过程,体现学生的学习水平,但由于本题不宜设问(原因与选用填空题题型的问题类似),而且课本上没有出现(或极少出现)用无限逼近的思想解决问题的例题,所以学生对其书写的规范性不熟悉,易造成试题效度的缺失;

5 第二问的解答策略

6 命题后的思考

6.1 命制试题技术的思考

根据课标的要求和7～9年级学生的思维特点和认知规律,无限逼近思想只能在比较少的教学内容中初步渗透,对学生仅仅是要求对该思想有一个初步的感受,因此考查无限逼近思想的试题的“度”的把握很重要.从题型上看,选择题比较适合;从试题的内容上看,应有两个特点,一是数形结合,二是应有两种不同类型的、学生都比较熟悉的图形.“数形结合”强调的是图形的重要性,由图形直观帮助学生理解该思想是考查目标得以实现的必要保证;而有两种不同类型的、学生都比较熟悉的图形,则是为了实现考查目标的必然手段――由其中一种“逼近”另一种,如本题中的扇形“逼近”矩形、弧“逼近”线段.若是只有同一种类型的图形,则失去了“逼近”的价值;若是有学生不熟悉的图形,则只能定性研究,无法定量研究,考查的能力要求就会大为降低.

6.2 试题与教学之间联系的思考

学生看到本题的图2,会觉得很“眼熟”,因为这种由扇形“逼近”矩形的图形,早在小学学习圆的面积公式时,学生就已经接触过了,而无限逼近的思想在初中的估计[KF(]2[KF)]的大小、求一元二次方程的近似解等教学内容中进行了初步的渗透.本题利用了学生比较熟悉的图形,考查了无限逼近的数学思想,体现了该内容对平时教学的要求,有利于引导教师教学中重视该数学思想的渗透,关注学生的理解生成.为了加强学生对该思想的感受,教师在平时的教学中还可以因势利导的渗透该思想,如和学生讲解完本题后,可以提问:你认为长与宽分别为多少的矩形,按题目的要求分割,焊接成的扇形的圆心角小于90°?等于90°?再如文1中提到的研究三角形的内角和时,教师可以引导学生用无限逼近的思想从另一个角度推导出三角形内角和定理;又比如在平时解决正n边形的相关问题时,教师可以让n逐渐增大,引导学生体会正多边形“逼近”圆的过程,等等,只要教师真正关注到这一点,有意识的、创造性的使用教学中的素材,学生用无限逼近思想解决问题的能力就能逐步提高.

需要引起重视的是,随着初、高中衔接的不断加强,近两年在全国各地的中考试卷中,已经开始出现考查无限逼近思想的试题.笔者命制的这道试题,实为抛砖引玉之“砖”,望能引起同行们对命制考查这一思想的试题的深入探讨和研究.

参考文献

[1] 张祥淳.无限逼近思想的应用[J].中学数学教学参考,2009,(1-2).

作者简介 王平,南京市第六届优秀青年教师,南京市数学中心组成员,白下区特级教师工作室成员,多次参与区、市级统考命题.近两年参加中国教育学会“十一五”科研规划课题“数学考试评价的理论与实践研究”课题组的研究,参与编写全国中考数学考试效度、信度评价报告的工作.