宏观系统中的波粒二象性

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【摘 要】本文回顾了人们对微观粒子波粒二象性认识的过程，介绍了宏观系统中螺旋波存在的普遍性及在宏观系统中产生螺旋波的方法。用数值模拟方法研究了螺旋波的波动性和粒子性。结果表明，当分布在一个小区域的外部扰动不在螺旋波波核区时，外部扰动对螺旋波运动无影响。

【关键词】波动性；粒子性；波粒二象性；螺旋波

一直以来，人们普遍认为波粒二象性是一种微观系统中的物理现象，不可能出现在宏观系统中。然而，最近人们通过对螺旋波的研究发现，螺旋波也具有波粒二象性（1），这表明在宏观系统中也存在波粒二象性。然而文献[1]没有给出直观的螺旋波的波粒二象性，本文通过设计外部扰动，给出了直观的直观的螺旋波的波粒二象性图象。螺旋波普遍存在于自然界中，近年来的心脏实验研究表明，心动过速及心颤致死与螺旋波的自组织及螺旋波破裂有密切的关系。掌握螺旋波的波粒二象性，有利于对螺旋波进行有效控制。总之，正确认识微观和宏观系统中的波粒二象性，不仅有助于认识客观世界，也能够利用波粒二象性造福人类。

1900年德国物理学家普朗克提出一个与经典物理概念不同的新假设：空腔壁中电子的振动可视为就在一维简谐振子，它吸收或发射电磁辐射能量时，不是过去经典物理所认为的那样可以连续地吸收或发射能量，而是以与振子的频率成正比的能量子（hν）为基本单元，一份一份地吸收或发射能量，即能量E=nh ，n=1，2，3，……（正整数），h为普朗克常量（4）。

1905年，受普朗克研究思想的启发，德国物理学家爱因斯坦提出光在本质上是由光量子组成的假设。他认为两个物体辐射的能量不仅在吸收和发射的过程是一份份的，而且，电磁波在空间的传播途径也是一连串的能量量子流 h （5）。接着写出了著名的光电效应方程 ，其中 为逸出功。1908年爱因斯坦证明在统计的特性下，黑体辐射既呈现波动性又呈现粒子性，首次提出了“波粒二象性”。根据爱因斯坦的量子理论，由光的波动性和粒子性这两种性质可得出光子的能量和动量与光子的关系是E=h ，P=h /c 。这两种性质是由普朗克常量联系起来的。从爱因斯坦公式可知，光子是具有波粒二象性的。

为了能圆满地解释微观体系中粒子的各种量子性质，以克服经典理论所面临的困难，奥地利年轻的物理学家薛定谔，从德布罗意提出的物质波的思想出发，于1926年建立了微观体系中的物质波波动方程，并应用这个方程成功地计算出了氢原子和简谐振子的量子化能谱，得到与实验完全符合的结果。这个波动方程后来被称为薛定谔方程，成为实物粒子波动的非相对论性理论。薛定谔通过它把原子的离散能级和微分方程在一定的边界条件下的本征问题联系在一起，用于光和电子碰撞、原子在电场和磁场中运动等问题中，得到了比以前理论更符合实际的结果。

1、螺旋波的波动性

事实上，从电子衍射实验分析可知，电子所呈现出来的粒子性总是经典概念中的具有一定质量和电荷等属性的“颗粒性”，但并不与“粒子有确切的轨道”的概念有必然的联系；而呈现出的波动性也只是波动最本质的东西――波的相干叠加性，但并不一定与某种实在的物理量在空间的波动联系在一起。所以波恩在1926年用薛定谔方程来处理散射问题时提出概率波，他认为量子力学中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，只不过是刻画粒子在空间的概率分布而已（5）。

我们也可以用电子晶体衍射实验的衍射图样来理解概率波。从电子的波动性看，衍射图样反映出波在图样上各点的强度分布 2，衍射图样上亮的地方说明波强度大，暗的地方说明波的强度弱；从电子的粒子性看，衍射图样反映出电子数目分布，衍射图样亮的地方说明到达的电子数目多，而暗的地方说明到达的电子数目少；对单个电子来说，衍射图样反映出一个电子被散射后打到照片上各点的几率分布，亮的地方说明电子到达的几率大，暗的地方说明到达的几率小。而综合电子的波动性和粒子性来看，可知电子波在相片上的各点的强度正比于一个电子在底片上相应各点出现的几率。

最简单的可激发系统可以用一个双变量反应扩散方程解释，下面就用 模型来说明螺旋波的产生。 模型的动力学方程（1）如下（8）：

其中 为系统变量， 是扩散项。 是一个远小于1的量，它的存在使变量 的动力学行为有不同的时间尺度。

为研究螺旋波的产生，我们固定取参数a=0.84，b=0.07，ε=0.05在数值解方程（1）过程中，时间离散采用二阶龙格库塔方法，空间离散采用二阶差分方法。空间步长为， = =0.4，时间步长取 =0.02，计算区域空间离散成Nx×Ny=400 格点，即取计算区域边长为L=400×0.4=160。

在二维系统中，如果初始态是一个受激发的点，系统会形成一个环状的波形向外扩张，如果这个点激发源是周期的，则会观察到稳定的靶波。要观察到螺旋波，可以用线激发源在左边界上产生一个平行波（一列平面波），该波向右边界传播。当这列波运动到中间时，把这列平面波的从中间抹掉半个波[如图1（a）所示]，这样在这列平面波在截断处形成一个缺陷（它就是螺旋波波头所在位置）。在远离这个缺陷的区域，平面波波峰的邻近点受左右两个方向上扩散而来的触发变量的影响，比较容易激发，因而波速较高；而在这个缺陷所在区域，平面波波峰的邻近点由于只受到来自一个方向上的触发变量的激发，激发强度相对来说比较弱小，因而波速较慢。这样，从整体上看，当平面波向前传播时，缺陷点的相对位置会有一个滞后，这个滞后使得平面波在缺陷点附近弯曲。线波的局部运动方向发生变化，由于这种缺陷效应总是存在的 ，随着时间的增长，平面状波会逐渐转变为螺旋波（9）[如图1（b）-（d）所示]。

图1（a） 图1（b）

图1（c） 图1（d）

图1 螺旋波的产生过程。（a） t=0 平面波被从中间截去半个波，中间形成一个缺陷。（b） t=1.6s时，缺陷点的相对位置有一个滞后。（c）t=6.8s （d）t=32s，逐渐形成一个完整的螺旋波。

螺旋波与靶波不同，它是自激的，不需要一个周期的激发源，同时它是以缺陷为中心自组织形成的一类特殊的波，而且系统中所有的动力学行为都要受到这个中心点缺陷行为的限制。在系统中制造一个缺陷比较容易，但系统中一旦产生了缺陷就很难将其消除。

2、螺旋波的粒子性

下面用数值计算方法来研究螺旋波的粒子性，即研究螺旋波对外部扰动的响应。所使用的模型由方程（1a）描述，为了研究螺旋波对外部扰动的响应，我们在系统的 区域加上一个恒定大小的外力F，这时方程（1a）改为：

（a）t= 0 （b）t=100s

（c） t=200s （d）t=300s

图2在外部扰动下不同时刻的螺旋波斑图。t=0时刻扰动加在以格点（350，200）为中心半径R=5的区域， F=0.5，（a）t=0，（b）t=100s，（c）t=200s，（d）t=300s。

首先考虑外部扰动远离波头（波核）的情况，扰动对螺旋波的影响。设t=0时系统处于平稳的螺旋波态，如图2（a）所示。此时，在系统中以（350，200）为中心半径处于R=5的区域加上一个恒定扰动F=0.5。结果如图2（b），（c），（d）所示，可知，当扰动远离波头时对螺旋波运动无影响。

下面考虑外部扰动就加在波头附近的情况下扰动对螺旋波的影响。仍取图2（a）为初态，扰动加在以格点（200，200）为中心半径为R=5的区域，这时螺旋波波头在扰动区域内。当恒定扰动力F=0.2，得到结果如图3（a）（b）所示。

（a） t=100s （b）t=200s

图3在外部扰动下不同时刻的螺旋波斑图。扰动加在以格点（200，200）为中心半径R=5的区域，F=0.2。

从图3可以看出，随着时间的变化而螺旋波却一直保持原来的运动状态。结果表明，当F 较小时，外部扰动对螺旋波运动也不产生任何影响。当扰动F=0.5时，结果如图4所示：

（a）t=0s （b）t=15s

（c）t=20s （d）t=50s

（e） t=100s （f）t=200s

图4在外部扰动下不同时刻的螺旋波斑图。t=0时刻外部扰动加在以格点（200，200）为中心半径R=5的区域，F=0.5。

从图2至图4可知，如果螺旋波波头附近无扰动或扰动较小时，螺旋波运动不受外部扰动的影响，但当在螺旋波波头附近的扰动足够大时，扰动会放大，最后导致螺旋波的频率发生很大的变化，波长变长，表现在它对外部扰动的响应是有局域性。外部扰动对螺旋波的影响与 粒子被原子核散射相似。把外部扰动看做原子核，螺旋波看做 粒子，螺旋波波头到外部扰动区域的距离为瞄准距离。由上述结果可以看出，只有当瞄准距离足够小时螺旋波运动受影响，才表现出螺旋波的粒子性。由此可见宏观系统中自维持螺旋波具有粒子性。

3、结论

螺旋波在宏观系统中是普遍存在的 ，它的形成可以通过 模型来观测。螺旋波是一个自维持的波，在整个介质具有波动性，它也和微观世界中的粒子一样具有存在波粒二象性。我们通过由数值实验说明：在远离波头处加一个局域化的扰动时，扰动对螺旋波没有影响，而在波头所在位置附近加一足够大的扰动时，螺旋波会受到很大的影响。当扰动消除后，螺旋波又很快恢复到原来的状态。这些说明了螺旋波对外部扰动的响应表现为局域化的实体，所以螺旋波具有粒子性。

螺旋波的波粒二象性与微观粒子的波粒二象性有些不同的地方，螺旋波的二象性是可以同时存在的。螺旋波存在于宏观系统中，这说明宏观系统中也存在波粒二象性。这个结论了传统中认为波粒二象性只存在于微观系统世界中的看法。

参考文献

[1] V. Biktasheva* PHYSICAL REVIEW E 67， 026221 ～2003！

[2] 吴强 《光学》 科学出版社 （2006）（第1至6页、231至250页）

[3] 孟泉水、常琳 《量子力学中一个基本物理思想的前因后论》西安科技大学基础课部（710054）

[4] 王晓欧 《物理学概论》 同济大学出版社 （2007） （第179至201页）

[5] 曾谨言 《量子力学教程》 科学出版社 （2003）（第xi至7页）

[6] 马军、靳伍银、李延龙、陈勇 《随机相位扰动抑制激发介质中漂移的螺旋波》 （730050）

收稿日期：2014-06-20