椭圆的定义给解题的启示

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇椭圆的定义给解题的启示范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘要】文章以两道高考题为例，介绍了椭圆的定义在解这两道题中所起的作用.

【关键词】椭圆的定义；和为定值

在学习圆锥曲线的过程中，首先学习的是椭圆，所以对椭圆的定义都比较熟悉.问题在于随着学习内容的增加，在解题过程中虽然遇到和为定值的条件，却往往又想不到利用椭圆的定义来解题.在2012年高考数学试题中，有两道关于和为定值的问题，都可以联系到椭圆的定义，进而把问题解决.

题目（上海2012高考数学第14题）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，

且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是.

因为此题是求四面体ABCD的体积的最大值，所以很容易想到首先要表示出四面体ABCD的体积.因为条件给出ADBC，过点B作BEAD，连接CE，所以VABCD=13·AD·SBCE.求四面体ABCD的体积的最大值，即求BCE面积的最大值.由条件知AD=2c，AB+BD=AC+CD=2a，显然2a>2c，由此想到点B，C都在以A，D为焦点的椭圆上运动，而在BCE中，BE的长即为点B到以A，D为焦点的椭圆的长轴的距离，从而BE长的最大值为椭圆的短半周长a2-c2，由此可以求出四面体ABCD的体积的最大值.解此题的关键在于由条件AD=2c，AB+BD=AC+CD=2a能够联想起椭圆的定义.因为此题给出的是一个四面体，其实点B，C是在以A，D为焦点的椭球面上运动，并非是一个平面图形，所以联想起椭圆的定义有一定的困难，若能够联想到椭圆的定义，则问题就容易解决了.无独有偶，在江苏2012年高考题中，也有一道证明和为定值的问题.

题目（江苏2012高考数学第19题） 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.

第二问的第二小题是求证PF1+PF2是定值.

思考：若PF1+PF2为定值，则点P一定在以F1，F2为焦点的椭圆上.

下面给出证明：由条件易求得椭圆的方程为x22+y2=1.

故PF1+PF2为定值323，问题得证.

此题若开始就由所证的和为定值联想到椭圆的定义，则解题的目标就很明确.即只需证明点P的坐标满足一椭圆的方程，按照上面的解题思路就可以完成，但是也需要一定的勇气才能完成.

以上两题都是关于和为定值的问题，在高中教材中，和为定值的问题与椭圆的定义密切相关，在解题过程中不妨利用椭圆的定义来试着求解.