“见异”也要“思迁”

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇“见异”也要“思迁”范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

在我们的书本教材中，编者设置的例、习题大多具有很高的代表性，对我们的教学和学习具有某些潜在功能。同学们平时在做习题的过程当中，如果能多思考、探究、勤归纳、整理，就一定会有更多、更新的发现，学习的自主能力也会得到不断地提高。下面就初一几何教材中遇到的一道习题为例来说明：

题目：已知：等腰梯形ABCD，AD∥BC，对角线ACBD，AD=3cm，BC=7cm，求梯形的面积。

一、探究解法

分析：因为已知梯形两底的长，故要求面积，只需求梯形的高。

这里我们介绍五种做法：

解法一：如图（1），过D作DEBC于点E，过D作DF∥AC交BC的延长线于点F，则BDF是一个等腰直角三角形，DE是斜边BF上的中垂线。所以，DE=BF=（AD+BC）=5，S梯形ABCD=

（3+7）×5=25。

解法二：如图（2），过点O作OMBC于M，延长MO交AD于N，则ONAD。容易证得ABC≌DCB，则∠1=∠2，则OM为等腰直角OBC斜边上的中线，所以OM=

BC；同理可得ON为等腰直角OAD斜边上的中线，所以ON=AD。由此，MN=OM+ON=（AD+BC）=5，所以，S梯形ABCD=（3+7）×5=25。

解法三：如图（3），过点A、D，分别作AEBC于E，DFBC于F。因为ABC≌DCB，则∠1=∠2，又因为ACBD，则∠1=∠2=45°，所以AE=EC

=（AD+BC）=5，所以，S梯形ABCD= （3+

7）×5=25。

解法四：如图（4），依次连接中位线、高EG、HF的四个端点，由ACBD，AC=BD，及三角形、梯形的中位线性质，可知四边形EHGF是一个正方形，从而，FH=EG= （AD+BC）=5。所以S梯形ABCD=（3+7）×5=25。

解法五：如图（5），由于AOD、BOC都是等腰直角三角形，所以，OA=OD=AD，OB=OC= BC，所以，AC=BD=（AC+BD）=5√5，所以S梯形ABCD=SABC+ SADC= AC・BO+AC・OD=

AC・BD=AC2=（5√2）2=25。

二、归纳性质

设等腰梯形的上、下底分别为a、b，腰长为c，对角线为d，高为h，中位线为m，面积为s。综观上述图形及解法，易得，对角线互相垂直的等腰梯形初具有一般等腰梯形的性质以外，还具有以下性质：

（1）h=e=（a+b）

（2）d=√2e= （a+b）

（3）s=e2= d2=（a+b）2

（4）c= √a2+b2

运用上述性质，可以很快解决与此有关的问题。

例1 用一块面积为800cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见，用竹条做梯形对角线，对角线恰好互相垂直，则需竹条

cm。

分析：本题实质上是已知对角线互相垂直等腰梯形的面积，要求对角线的长度。根据上面的性质（3），知800=d2，d=40。所以，木条的长度为：40×2=80（cm）。

例2已知等腰梯形ABCD中，BC∥AD，ACBD于O，BD=10，AO：OC=2：3。求腰AB的长。

分析：如图（6），因为BD=10，AO：OC=2：3，所以AO=4，OC=6。则AD=√2AO=4√2，BC=√2OC=6√2，根据上面的性质（4）可知AB=（AD2+BC2）=2√13。

三、变式拓展拓展

1 已知等腰梯形ABCD中，BC∥AD，对角线AC、BD交于点O，在下列条件下试求高h与中位线m的关系，并用m表示梯形的面积s与对角线d。

（1）∠BOC=120°（2）∠BOC=60°

分析：作等腰梯形ABCD的高DE，则BE等于中位线m的长，在RTBDE中，易得h与m的关系，进而可求得s、d。

（1）如图（7），当∠BOC=120°时，∠DBE=30°，所以，h=m。此时，s=hm=m2，d=2h=m。

（2）如图（8），当∠BOC=60°时，∠DBE=60°，所以，h=√3m。此时，s=hm=√3m2，d=2m。

拓展2 （1）如图（9），已知等腰梯形ABCD中，ACBD，垂足为O，AC=m，BD=n，则S梯形ABCD=。

（2）如图（10），四边形ABCD中，ACBD，垂足为O，AC=m，BD=n，则S梯形ABCD= 。

观察上面的（1）、（2），你会有什么发现呢？

分析：（1）S梯形ABCD=Sabd+ Scbd= BD・AO+ BD・CO=

BD・AC= mn，同理 （2）S四边形ABCD= mn，

综合（1）、（2）可发现：对角线互相垂直的四边形的面积就等于两对角线的乘积的一半。

当然，在梯形中，有关图形面积的公式和结论还有，比如：在图（1）中，若SAOD=S1，SBOC=S2，则SAOB=SDOC=√S1S2；S梯形ABCD=（√S1+√S2）2，这些结论在解题中应用也非常广泛。

在我们的日常教学中，如果教师注意深入挖掘课本题，并能将课本题进行变式，综合、延伸课本题结论，合并课本题图形，就能教会学生应用课本题结论或推演解决更多题型。

数学思想方法是数学的灵魂，在教学中逐步渗透思想方法，培养学生学会多角度探索解题思路，归纳、总结解题的思想方法，是提高学生自主思维能力的有效途径！