“悟”从“误”中来

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（浙江省义乌市江东中学）

摘 要：“悟”可以理解为悟性、顿悟，它是解决数学问题的一种重要的能力，也是学生智力高低的表现。在初中数学的学习中，学生的悟性培养非常重要。学生悟性的提高需要有一个从“无”到“有”的过程，在这个过程中，学生的认识是一个由感性到理性的过程，所以，错误的产生无法避免。受应试教育的影响，学生往往害怕错误，其实，学生在学习中难免会出现错误，作为一名初中数学教师，应该正视学生的错误资源，有效利用这种资源引导学生顿悟，提高学生的悟性。

关键词：初中数学；错误资源；概念；模型；运算

悟，在初中数学教学中可以解释为对数学概念的理解、对数学公式和定理的运用、对数学问题的觉醒。学生的悟必须建立在丰富的数学知识和思维能力的基础上，是一种自信积极的数学信息加工。在“悟”的过程中难免会出现各种错误，如果此时教师斥责学生，指责学生马虎或者脑子笨，不仅伤害了学生的自尊心，而且容易打击学生学习的积极性，使其最终产生厌学情绪。其实，学生学习的进步正是从错误到正确的过程，这是学生数学成绩提高的必经过程，因此，教师要善于分析和利用学生学习过程中出现的错误，引导学生在错误中提高悟性。笔者结合自身多年的教学经验，分析了教学中常见的几种错误资源，指出如何有效利用错误资源。

一、教学中常见的错误资源

1.由于联想混淆，产生错误的认知

联想指学生在看到某一数学知识时，会将原有认知结构中的一个相关知识作为节点来理解新知识。由于原有认知结构的差别，有些学生往往会走入“浮想联翩”的误区，进而导致对新知识理解得模棱两可，导致错误的产生。例如，2（x+y）=2x+2y这一数学知识学生掌握得很熟练，当第一次学习平方时，学生会不自觉联想（x+y）2=2x+2y，这是一种错误联想导致的新旧知识的混淆。

2.学生的思维定式，产生错误

思维定式可以理解为人们通常用已经成功解决某一问题的经验去解决已经变化的另一个问题。同样的，有些思维定式会束缚学生的思维，使其产生错误认识。例如，小学时期学的数不包括负数，所以a+b≥a在小学数学中是正确的，但初中学习负数后，这个不等式就是错的。再比如，小学生习惯用列算式解应用题，干扰了初中的列方程解应用题。比如学习完方程后，要求学生列方程解决以下问题：甲乙两个工程队分别从东、西方向铺设管道。甲每天铺设120米，乙每天铺设130米，管道总长1000米，问几天后两个工程队能完工？学生往往将方程列为：x=1000/（120+130），这也是受到原有知识的思维定式导致的。

3.由于学生对概念理解不清所导致的错误资源

在学习时，很多学生会对教师教授的概念模棱两可，导致经常出现错误。比如在讲解几何部分三角形的相似和全等的概念及判定条件记忆混淆时，会认为边长分别为3、4、5的直角三角形和边长分别为9、12、15的直角三角形全等，这是根据形状判定全等，脱离了全等的概念。再比如幂的运算性质有am・an=a（m+n），（am）n=amn，很多学生错误地理解为am・an=amn或者am+an=am+n等，都是由于概念的理解不到位导致的错误。

二、巧用错误资源，引领学生领悟数学知识

以上分析了学生在初中数学学习中常常出现的错误类型，教师应该怎样对待这些资源，引领学生从错误中领悟数学知识呢？以下是我结合自身经验提出的几点措施，望抛砖引玉。

1.转变态度，正视学生的错误

受考试压力和成绩的影响，很多教师难以正视学生的错误，当发现学生出现错误时，很多教师会这样训斥：“这个讲了几遍了你还错？这个公式你还记不住？你怎么这么笨？”看似严肃地对待学生的错误，其实学生收到这样的反馈时，并不知道自己具体错在哪里，遇到不会的问题也不敢问，而且很有挫败感，长此以往，很多学生会麻木。因此，教师要善待学生出现的错误，从学生的角度思考，并追问学生：“你错题时是怎么理解的？没关系，说出来大家一起解决，我可以帮助你。”“大家有好的办法避免类似的错误再出现吗？”教师用这样的方式和态度和学生交流，学生才能大胆正视自己的错误，发现问题并避免错误，这样学生的数学能力才能慢慢提高。

2.促使深度理解概念，利用错误培养逆向思维

概念在初中数学中占有举足轻重的地位，因此，初中数学教师应该重视概念的教学，促进学生对概念的深度理解，对概念的外延进行变式，加强对概念的辨别，进而减少错误的产生。例如，在教学浙教版初中数学“几何和图形”部分中的矩形和菱形时，矩形的四个角都是直角、对角线相等，而菱形四条边相等、对角线互相垂直，两个概念相似度高，很多学生容易混淆。为加深对概念的理解，我结合“中点四边形”这一数学知识进行讲解：（1）依次连接任意四边形的中点；（2）顺次连接矩形的四边中点；（3）顺次连接菱形的四边中点。我出示以上要求，并让学生思考得到的三个四边形是什么形状。我引导学生动手画一画、量一量并证明得到的结论，通过画辅助线和中位线的性质，学生不难证明，它们分别是：平行四边形、矩形、菱形。我继续追问：“回想刚才的证明过程，你认为什么特征的四边形的中点四边形是矩形？什么形状的四边形的中点四边形是菱形？”通过交流讨论，学生不难发现对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。最后，我提：“那什么样的四边形的中点四边形是正方形呢？”通过层层追问，引导学生深思，在思考和证明的过程中不断运用矩形和菱形的性质，加深学生对概念的理解，同时也从结论引导学生思考概念，培养学生的逆向思维。

3.利用错误帮助学生进行新知识的学习

学生对新知识的理解需要一个过程，开始可能只关注了知识的某一个特征，并不能全面理解，因此会产生各种错误。此时，教师要抓住学生学习中出现的错误，把它当作情境或者场景进行教学，这样能吸引学生兴趣，引导学生掌握数学规律。例如，我出示问题：（1）一条直线上有两点，那有几条线段呢？（2）直线上有3个点，你能找到几条线段？（3）直线上有4个点，你能找到几条线

段……我让学生交流自己是怎么找的，并让学生找一找怎样数才能不遗漏不重复，学生在找一找、数一数的过程中，能发现规律，根据等差数列的规律学生不难发现：当直线上点的个数为n时，线段的条数是n（n-1）/2。这样学生在错误中发现了规律，学习了新知识，当然也增加了战胜错误的勇气。

4.培养模型意识，增强解题能力

数学是一门有规律的学科，其中蕴含着很多数学模型，有时候学生不会解题，很大一部分原因是不熟悉这类模型。因此，初中数学教师应该有意识地培养学生的模型意识，引导学生从某一事物的数量关系或者特点，用数学语言概括事物的内在联系，这样学生遇到类似的情况时会事半功倍。如，8个班打篮球赛，需要举行几场比赛？4个人握手需要握几次？一块木头锯成6块需要锯几次？这些类似的问题放在一起，能让学生在规律中发现联系，提高解决问题的能力和水平。

总之，学生出错是在所难免的，教师应珍视学生的错误，把犯错误的权利交给学生，让学生在无苛责、无恐惧的数学课堂中思维飞扬。作为初中数学教师，要巧用错题资源，让思维跳动，让思想跃然纸上，这样学生学得轻松，教师教得快乐，何乐而不为？

参考文献：

[1]王英豪.减少初中学生数学解题错误的策略研究[J].现代教育科学，2012（8）.

[2]易涌军.浅谈初中数学解题错误成因及其应对策略[J].读书文摘，2014（16）.