椭圆的形成及定义的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇椭圆的形成及定义的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要： 椭圆中涉及数学思想方法：数形结合的思想、函数与方程思想、分类讨论的思想、化归思想等都有所体现，同时，定义法、待定系数法、参数法、设而不求等方法也经常用到，因此教师在授课时要有意识地培养学生运用数学思想方法解题的能力.

关键词： 椭圆 形成 定义应用

圆锥曲线是解析几何的核心内容，大纲要求：了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想；圆锥曲线是中学数学的重点、难点，是高考命题的热点之一，也是高考常见新颖题的板块，各种解题方法都得到了很好的体现和充分的展示.平面向量与解析几何的融合，提高了题目的综合性，形成了题目多变，解法灵活的特点，充分体现了高考中以能力立意为主旨的命题方向.从近两年的高考试题来看，椭圆的定义，椭圆的几何性质，直线于圆的位置关系，求椭圆的标准方程是高考的热点.

学习中想要深化对椭圆知识的理解最首先要理解定义进而突现性质，下面将对椭圆形成的几种形式及其应用做说明.

一、椭圆形成的几种形式

1.如图1，点P是圆上的任意一点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，M是PQ上一定点，当点P运动时，M的轨迹是椭圆.

思路：采用相关点法设M坐标为（x，y），利用QM，QP的比例关系求出点P的坐标再把点P的坐标代入圆的方程即可.

2.如图2，圆O的半径为R，A是圆内一个定点，P是圆上任意一点，线段PA的垂直平分线和半径相交于OP点M，当点P在圆上运动时点M的轨迹是椭圆.

分析：如图，因为点M在线段PA的垂直平分线MN上，所以有|MO|+|MA|=|OM|+|MP|=|OP|.所以点M的轨迹是以O，A为焦点，长轴长等于|OP|的椭圆.

在高考命题中，主要考查两类问题：一是根据题设条件，求出表示圆锥曲线的方程；二是通过方程，研究圆锥曲线的性质.综合考查学生分析问题、解决问题的能力、运算能力，以及在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力.下面我们通过典型例题展示根据椭圆的定义及其性质的重要作用.

二、椭圆定义的应用

例1：已知动点P（x，y）满足方程■+■=6，求动点P的轨迹.

分析：要注意椭圆定义中的限制条件，只有|PF■|+|PF■|>|F■F■|时动点的轨迹才是椭圆.而此方程表示点P（x，y）到点A（1，1）和点P（x，y）到点B（3，4）的距离和等于6，即|PA|+|PB|=6，而A，B两点之间的距离|AB|=■=5

例2：如图3，把椭圆■+■=1的长轴AB分成8等份，过每一个分点分别作x轴的垂线交椭圆上半部分于P■，P■，P■，P■，P■，P■，P■七个点，F是椭圆的一个焦点，求|FP■|+ |FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|的值.

解：如图：根据对称性可得|P■F|=|P■F′|，根据定义|P■F|+|P■F′|=2a，因此|P■F|+|P■F|=2a，同理|P■F|+|P■F|=2a，|P■F|+|P■F|=2a， |P■F|=a.

所以：|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|+|FP■|=7a.

本题充分体现了椭圆对称性与第一定义的完美结合.

圆锥曲线题型特征是，当拿到题目后基本都有思路，但其繁杂的解题过程会是很多同学中途止步，所以他不仅仅是教给我们一种方法，而是对我们意志品质的训练——不能只具备一双慧眼，更应具有锲而不舍和坚韧不拔的精神.

总之，椭圆是高考的热点内容，高考中常以小题形式考查椭圆的几何性质，大题中则多以考查待定系数法求椭圆方程和直线与椭圆位置关系为主的中高档试题；要紧扣椭圆的定义，认识椭圆的几何特性及机械作图法；要紧扣椭圆的标准方程的结构，参量，推断椭圆的几何性质，学会讨论的方法.从动点的轨迹观察椭圆与其他二次曲线的区别与联系，学生在解决分析与椭圆相关问题时，注意用数形转化、数形结合的思维方式，从而使圆锥曲线的学习达到更高的层次.