三维时间分数阶Navier―Stokes 方程的一个精确解

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇三维时间分数阶Navier―Stokes 方程的一个精确解范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要 利用Adomian分解法将Adomian多项式与分数阶积分定义有效的结合得到方程的级数解，给出了Adomian分解法的一般步骤，随着Adomian多项式的项数的增多数值解的精度也越高。给出了分数阶N-S方程的一个精确解。

关键词 Adomian分解法 非线性项 近似解 收敛性 精确解 Adomian多项式

中图分类号：O29 文献标识码：A

Adomian 分解法（ADM）又称为逆算子运算法，是美国物理学家George.Adomian（1922-1996）提出的，近几年得到比较快的发展，它具有很好的收敛性并且容易计算。尤其在找分数阶微分方程的近似解甚至精确解的时候非常方便。Adomian分解法找微分方程近似解的一般思路是：首先把待求解的微分方程分解成线性项和非线性项，然后把方程的解分解成无穷个分量，得到了与方程中非线性项等价的多项式，最后用递推法由方程的低阶解分量推出方程的高阶解分量得出方程的近似解甚至是精确解。本文利用Adomian分解法得到N-S方程的一个精确解，可以发现Adomian分解法的优越性。

分数阶微分方程是随着分数阶微积分理论一起发展起来的学科。在十九世纪以前未得到足够的重视，直到1832年科学家在刘维尔势位问题上发现分数阶微分方程的物理意义。此后在工程和物理方面，分数阶微分方程的应用逐渐扩大。特别是近二、三十年，分数阶微分方程应用领域涉及到：流体力学、粘弹性力学、分数控制系统、各种电子回路、生物系统的电传导，特别是分形维相关的工程问题。甚至有人提出应当开设一门独立的学科。现在以经有很多的学者利用Adomian分解法求解出各种微分积分方程。例如：kalla通过Adomian分解法解决了一类Volterra方程。

1 分数阶微积分的定义

定义.1：Riemann-Liouville 分数阶积分

设u（t）是定义在区间（0，a）上的连续可微函数，0

由微分运算是积分运算的逆运算可得分数阶导数的定义。

定义.2： Riemann-Liouville 分数阶导数

设u（t）是定义在区间（0，a）上的连续可微函数，0

Caputo型分数阶导数的定义和Riemann-Liouville一样，只是求导和积分的顺序相反。

定义.3： Caputo 分数阶导数

设u（t）是定义在区间（0，a）上的连续可微函数，0

Riemann-Liouville定义和Caputo定义都是对Grunwald-Letnikov定义的改进。在阶数为负实数和正整数时，它们是等价的。从数学角度来看Riemann-Liouville 定义与经典导数定义吻合，Caputo定义在端点处可能不吻合，但应用更广。本文涉及到的分数阶求导都是Caputo定义下的。

2 Adomian 分解法的思想

设L是一个可积且可微的线性算子，若x1是方程L（x）=g1的解，x2是方程L（x）=g2的解，则是方程L（x）=g1+g2的解。

由上面的分析可知：任一可逆线性方程都可以分成几个方程，每个方程可以独立求解。则对任一方程，我们利用类似原理。找出它的线性部分和非线性部分，把方程的解u（t）分解成无穷级数解分量u（t）=ui把非线性项也分解成无穷级数解分量N=Ni若方程Fu=f，F包含线性算子L和非线性算子N两部分。则：

这里是Mittag-leffler 函数，其定义如下：Mittag-leffler函数是一个整函数，它是的单参数推广。同样地M-L，型函数双参数定义为

参考文献[1] G.Adomian， A review of the decomposition method in applied mathematics，J.Math.Anal.135（1988）501-544.

[2] G.Adomian， A review of the decomposition method and some recent results for nonlinear equation [J] Mathematical and computer modelling，1990，13（7）：17-43.

[3] G.Adomian，On the convergence region for decomposition solutions.Journal of computer Mathematics with Applications，1984，11（3）：379-380.

[4] 金怡，余爱晖.利用改进的Adomian分解法求解分数阻尼梁的解析解[J].应用数学和力学，2007，28（2）.

[5] Zaid M.Odibat. Exact solitary solutions for variants of the Kdv equations with fractional time derivatives. Chaos，Solitons and Fractals 40（2009）1264-1270.

[6] 陈宏善，李明明，康永刚，张素玲.Mittag-leffler函数及其在粘弹性应力松弛中的应用[J].高等学校化学学报，2008（6）.