活用线在面上三思路

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在空间线面间相互平行与垂直的逻辑推理中，线若离面、面上无线，犹如鱼儿离开水一般，都是无根无本、孤立静止的闲物；线在面上，线与面形影相伴、相辅相成，看似简单，其实不然，它是线面间平行与垂直关系相互转化的核心纽带；空间几何体只有在它搭建的平台上，同时在它的驱动下，线与线、线与面、面与面的平行与垂直关系才会激情四射、充满生机活力，才会跃跃欲试的互动转化. 因此，如何用活线在面上，是解决这类问题的关键. 本文依推理论证这类问题的结论与条件不同，即从证与用两个方面，如何活用线在面上来归纳整合.

一、线放面上

单一的线线垂直是孤立无助的，只有融入到空间几何体的“大家庭”,才能与唇齿相依的线面关系相辅相成，也就是把其中一直线放在一平面上，即可转化为线面关系处理.

例１ 如图1所示，ABC中，

∠ABC=90°,SA平面ABC

，又点A在SB与SC上的射影分别是点Q与P，求证：

PQSC.

证明:由

SA平面ABCSABC，又

ABBCBC平面SAB,

又AQ平面SABAQBC，又AQSBAQ平面

SBCAQSC,

又APSCSC平面APQPQSC.

评注:这证法是线面垂直与线线垂直的一个系列循环转化，看似象做游戏一样，其实有一条十分清晰的思路，就是要证或用线线垂直，把其中一线放在一平面，证另一线是面垂线（也可为面斜线），得线线垂直….

一般地，欲证线线垂直，把其中一直线放在一平面上，若另一直线是平面垂线，它就垂直于平面内的这条直线；若另一直线是平面斜线，只要证平面内直线垂直于该斜线在平面影；

若用线线垂直条件，也要把其中一直线放在一平面上，当另一直线还垂直于面内与该直线相交的一直线，得线面垂直；当另一直线是平面斜线，得该直线与该斜线在平面影垂直.

二、面上找线

线面、面面关系诱发于线线关系，也归宿于线线关系，所以，对这两类关系的处理，在平面上找到符合条件的线是关键.

例2 如图2，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，连结AD、DC1、A1B、AC1

,求证：A1B∥平面ADC1.

证明：连结

A1C,记A1C∩AC1=O,连结

OD,由BD=DC,又

A1O=OCA1B

∥OD,OD平面ADC1A1B∥平面ADC1

评注:在平面上找直线的平行线，通常用平行四边形对边、三角形中位线或截三角形两边对应成比例的平行线段等方法寻找.

一般地，欲证线面平行，要在平面上找该直线的平行线；证面面平行，要在其中一平面上找与另一平面内两相交直线的平行线；证线面垂直，要在平面上找两条相交直线与该直线都垂直；证面面垂直，要在其中一平面上，找另一平面的垂线.

若用面面垂直的条件，在其中一平面上找垂直于交线的直线，就得线面垂直.

三、过线作面

线线、线面关系的平行，其本质是线线平行，由于面面相交成线，揭开这个面纱要通过平面才能完成.

例3 如图3所示，已知三个平行平面α、β、γ与两条直线m、l分别相交于A、B、C和点D、E、F. 求证：

ABBC

=DEEF

.

证明：连结AF，记

AF∩β=M，由β∥γ、平面ACF∩β=BM、平面

ACF∩γ=CFBM∥CF

ABBC

=AMMF

①，又β∥α、

平面FAD∩β=EM、平面FAD∩α=AD

EM∥AD

AMMF=

DEEF ②，由①②

ABBC

=DEEF

.

评注:由面面平行，构造与平行平面都相交的另一平面是关键，由于条件中有穿过平面的直线，作平面的方法较多，过其中一线与三平行平面相交的三点中的任意一点，作另一交线的平行线，或在两直线上各取一点并连接都可以作出类似的平面.

一般地，若线面平行，过直线作（或找）与该平面相交的平面，得线线平行；若面面平行，过一线作（或找）与平行平面都相交的第三个平面，得交线平行.

练习:

1.如图4，点P是平面ABCD外的一点，已知

PA平面ABCD,ABAD,ACCD,∠ABC=60°

,PA=AB=BC

,E是PC的中点.

求证：（1）CDAE；（2）PD平面

ABE

2.如图5，已知P、Q是单位正方体ABCD-

A1B1C1D1

的面A1B1BA和ABCD的中心.求证：PQ∥平面BCC1B1.

3. （2010辽宁文数19） 如图6，棱柱

ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，

B1C1A1B

（1）证明：平面AB1C平面A1BC1；

（2）设D是A1C1上的点，且

A1B∥平面B1CD，求

A1D∶DC1的值.

甘肃省高台县第一中学（734300）