有关恒成立问题的初步探究
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高中数学中的恒成立问题把不等式、函数、数列、三角、几何等内容有机地结合起来，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，其覆盖知识点多、方法多种多样，是历年数学高考、竞赛中考查的热点。笔者从教多年，专对“恒成立”问题作一初步探究，现整理成文，望同行多加指导。
思想方法
首先对于很成立的不等式进行参数分离，若得 恒成立，则只需 ；而 恒成立，则只需 ，进而将恒成立问题转化成求 的最值。
例1：已知函数 定义域为 ，求 的取值范围。
解析：由题意得 在 上恒成立，则只需 ，所以 ，解得 。
例2（08.全国卷一）：已知函数
，
（Ⅰ）、讨论函数 的单调区间；
（Ⅱ）、设函数 在区间 内是减函数，求 的取值范围。
解析：（Ⅱ）、（思路一）由题意
在 上恒成立，则分析 的图像得
，得 。
（思路二）将 参数分离得 在 上恒成立，
令 ，利用双对勾函数单调性知 在 上单调减，
在 上单调增，所以 或 ，而 ， ，所以得。
2、参数无法分离问题
例3：不等式 对于任意 都成立，则求实数 的取值范围。
解析：由题意可得
3、双重恒成立问题
例4（08.天津）：已知函数 ，其中
（1）、若曲线 在点 处的切线方程为 ，求函数 的解析式；
（2）：讨论函数 的单调性；
（3）：若对于任意 的，不等式 在 上恒成立，求 的取值范围。
解析：（3） 关于是一个单调递增函数， ， 在 上恒成立。又 在 上单调递减， ， 。
4、与自然数有关的等式恒成立问题
例4、设 为
的展开式中 项的系数，问是否存在常数 使得对于不小于 的自然数 ，等式 恒成立，并证明你的结论。
解析：应用 作为特殊值探路，可得 ，然后再用数学归纳法证明即可。
5、多参数的恒成立问题
例5、设函数 ，对于一切 ，都有 ，求证：对一切 ，都有 。
解析：由题意易得 ， ， ，则 然后再证，当
时这四种情况下均有 。
收稿日期:2012-08-20