巧用极端思想 妙解数学题

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摘 要：本文通过一些例子和一些高考题，从数量的极端化、元素的特殊位置、图形的特殊情况等方面来探讨极端思想在解题中的一些用法，以此来扩展同学们的解题思路，培养同学们的创新思维。

关键词：极端化；解题；创新；高考题

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）06-090-1

极端化解题从极端情况入手，既能很好地找到解题的突破口，进而简化解题，提高解题速度，又能培养了学生的创新能力。

一、数量的极端化

我们在求某些范围、近似值时，若从正面直接求解会比较困难，但从它的变化趋势、发展规律的极端情况来解决，则容易得多。

例1.（2002年高考题）设θ∈（0，π4），则二次曲线x2cotθ-y2tanθ=1的离心率的取值范围为（ ）。

A. （0，12） B. （12，22） C. （22，2） D. （2，+∞）

分析：由θπ4，知cotθ1>0，tanθ1>0，故二次曲线是双曲线，即e>1，选择项中满足的只有D。故选D。

评注：本题若从离心率的定义直接求解的话，运算量大，取极端情况估计，不必精确求出离心率。

二、元素位置的极端化

在立体几何中，有一些点或直线是运动变化的并且趋向于某特殊位置，而所求的对象（如数值、角度等）也趋向于一个定值，对于这些问题我们可以走极端，能起到简化的目的。

例2.（2003年高考题）已知长方体的4个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向到BC上的点P1后依次反射到CD，DA和AB上的点是P2，P3和P4（入射角等于反射角）。设P4的坐标为（x4，0），若1

A. （13，1） B. （13，23）

C. （25，12） D. （25，23）

分析：我们可以利用几何关系通过极端位置找出tanθ的取值范围，根据极端的观点令x41，不妨令P4与P0重合，依据入射角等于反射角，P1，P2，P3即知均为各边中点，此时tanθ=12，而四个选项中仅有选项C与此数据有联系，故选C。

评注：此题考查了学生处理代数与几何问题的能力，解答时取极端位置将猜想与估算结合，培养了学生的思维能力，优化了解题过程。

三、图形的极端化

将一些图形极端化处理能提高我们对图形的认识和想象力，为很快找到解题突破口打下基础。

例3.（2005年高考题）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH=m（OA+OB+OC），则实数m= .

分析：考查极端，ABC为直角三角形，则点O是斜边的中点，H点为直角顶点，这时有OH=OA+OB+OC，则m=1.

评注：对于一般的三角形，本题难于下手，设三角形为特殊的直角三角形，则很快就找到解题方法。

四、状态极端化

通过分解有关对象在运动过程中的极端状态，进而寻求合理的解决问题的途径。

例4.（1994年全国高中数学联赛题）在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）

A. （n-2nπ，π） B. （n-1nπ，π）

C. （0，π2） D. （n-2nπ，n-1nπ）

分析：图中底面正n边形固定，而棱锥的高在变化，故可将顶点S看作是运动的，设相邻两侧面所成的二面角为θ。当S向下运动无限接近底面正边形的中心的极端位置，θ趋于π；当S向上运动趋于无穷远时，侧棱将无限趋于与底面垂直，即正n棱锥趋于正n棱柱，此时θ无限趋于底面n正边形的内角θ=n-2nπ，故选A。

评注：由于底面在变，二面角也在变，好多同学拿到手后无从下手，但采用极端状态后，则简单，易行，其计算量也大大减少。

五、问题极端化

对于具有一般性的数学问题，如在解答过程中感到“进”有困难或无路可“进”时，不妨从一般性的问题退到极端性的问题上来，往往能获得解题的重要信息，达到简缩思维过程、降低难度的目的。

例5.（1999年高考题）若（2x+3）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值为（ ）

A. 1 B. -1 C. 0 D. 2

分析：本题若是用二项式定理求出a0，a1，a2，a3，a4，在代入求值，那将是很烦，但注意到已知等式中的字母x具有一般性，欲求式可写成（a0+a2+a4+a1+a3）（a0-a1+a2-a3+a4），我们从极端分析，令x=1得a0+a1+a2+a3+a4=（2+3）4，①

令x=-1，a0-a1+a2-a3+a4=（2-3）4②，①×②即得欲求得值为1，故选A。

极端原理在我们得解题中应用的比较广泛。对于一些问题，只要我们在解题时开动脑筋、发挥想象，将它们极端化，那么问题便很快会得到解决。