环保世博园

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摘要

2010年世博会在我国上海举行，各种交通工具基本上满足了旅客的需要，但对于一部分喜欢照相的旅客，由于乘用收费观光车以及免费世博专线公交游览通常会感觉到很不方便，并且此类交通工具由于游览路线比较固定，且不能中途停车，故有人建议某些场馆能够建立自行车租赁点。本文分析了自行车租赁的动态平衡问题，建立了关于自行车租赁的微分方程模型。首先，模型一针对取定的租赁点分析其自行车租赁状况；其次，模型二采用方法模型直接将问题简化后求解，只在最后结合实际做出检验即可。同时，我们运用matlab软件进行模型求解，图文结合的方式使文章清晰易懂，最终求出各个问题的解。问题一：中国馆东南存放自行车数为2864辆，后滩公园北存放自行车数为2136辆；问题二：中国馆东南存放自行车数为1684辆，后滩公园北存放自行车数为1256辆，美国馆南存放自行车数为895辆，宝钢大舞台存放自行车数为1164辆；问题三：应选择的租赁点为后滩公园，主题馆，世博文化中心，中国馆。针对不同问题我们建立的模型一次解决了，对于模型一应用广泛，并且实用性较强，可以应用到很多领域；对于模型二，采用的方法模型，对于问题的分析与求解也大有裨益。

【关键字】：自行车租赁动态平衡微分方程方法模型

中图分类号：F421.37文献标识码： A 文章编号：

（一）问题重述

上海世博会世博园区面积都比较大，游客采用步行或者乘用收费观光车以及免费世博专线公交游览通常会感觉到很不方便，并且此类交通工具由于游览路线比较固定，且不能中途停车，通常不适合一些乐于拍照的游客。有人想出用自行车租赁游览的方式，比较适合一些旅客的需要。旅客可以在任意一个租赁点租到自行车，并且可以在任意一个租赁点归还自行车。假设世博园区所有场馆每天的游客人数大约50万人，现有自行车5000辆。其中有些场馆是自行车观光的必经之地，具体哪些可以自行假设，世博园区图可在网上下载。

问题一：考虑在世博园区图中的中国馆东南、后滩公园北各建一个租赁点，设计一套租赁方案，即每天早晨各个租赁点分别存放多少辆自行车。尽量使得每个租赁点的自行车数量保持动态平衡。

问题二：考虑在世博园区图中的美国馆南和宝钢大舞台南两个位置新建立两个租赁点，重新设计一套租赁方案，尽量使得每个租赁点的自行车数量保持动态平衡。

问题三：请您考虑在世博园区哪些位置，建立几个租赁点更加符合实际需求，给出理论依据(模型及求解)予以说明。

（二）模型假设

假设自行车出现故障或丢失时，都能及时处理好，保证满足租赁者的需要；

假设租赁者平均每人每天租赁自行车一次；

假设每个租赁点每天出租出去的自行车在当天之内都全部被归还；

假设每天所有场馆的游览总人数基本保持不变；

假设旅客租还自行车均不受天气、交通状况等因素的影响；

假设自行车的租出率与当地的客流量成正相关，租车因子不受其它因素影响。

（三）符号说明

（四）模型的准备与建立

模型一的准备

经过对问题的仔细分析，我们可以知晓，旅客可以在任意一个租赁点租还自行车。要使每个点的租还自行车数量保持动态平衡，那么即是要各个点的自行车数量的变化率保持相对稳定，即：自行车数量的变化率=租出率+归还率

问题的本质是期望我们建立一个动态平衡模型来满足世博会中的各个租赁点的需求。我们抓住了问题的本质，即对于时刻每个租赁点有租出与归还自行车的动态平衡。记时刻第个租赁点存放的自行车数为，出租在外的自行车数为，第个租赁点的人气指数（时刻的客流量与总旅游人数的比值），总旅游人数为，我们可以建立关于租赁点的微分关系式：

同时，对于时刻出租在外的自行车数与所有租赁点存放的自行车数同样满足动态平衡，我们建立微分关系式：

模型一的建立

经过模型准备，我们清楚地分析了自行车租赁的整个过程，鉴于此，我们建立了微分方程模型，具体模型如下：

目标函数：……⑴

其中：……⑵

约束条件：……⑶

模型二的准备

对于模型二，我们要确定在哪几个位置建立几个租赁点才能更好地满足旅客的需要，这里需要考虑很多因素。第一，必须保证满足出行人数较多的路线的起、始点，都必须拥有租赁点；第二，应选择交通密度比较大的位置建立站点；第三，我们以各场馆的面积占总面积的比例来度量旅客稠密度。当然，还有很多其他方面的因素也会有影响。所以，我们在解这个问题的时候应该抓住主要线索，即交通密度。这里，我们以交通密度来衡量一个租赁点的合格度。

我们记为第个场馆的交通密度，为第个出入口每天的平均客流量，为第个场馆的旅客稠密度，我们建立如下关系式：

……①

我们根据路线上的地理环境、人群分布、交通情况、其他交通工具的密度、是否处于交通枢纽等具体情况来确定站点的具置。此处，我们主要研究黄浦江以南部分，这里，我们主要确定了4个出入口，所以关系式简化为：

……②

模型二的建立

由上面的模型准备，又根据图(1)分析得到，其中有几个场馆面积是比较大的，我们可以这样认为：面积越大的场馆，其客流量相对较多，故其周边交通比较频繁。我们用较大场馆面积与场馆总面积之比作为该场馆的旅客稠密度，即

……③

简化模型得到：

……④

与此同时，我们求出的解需满足如下条件：

模型二求出的解关于平衡时刻必须比第一问与第二问的平衡时刻，都小；

旅客对模型二选取的租赁点满意度更高；

（五）模型求解

模型一的求解

对于时间在刚开始9:00到这段时间关于时间成减函数，但是有附件Ⅰ可以看出人数的变化规律；那么可以看出在9:00到11:00这段时间内，总人数较少，但人数的增长速率最快，即旅游的人数来的最多，这时则对应的只较小，但逐渐在增长；对于在11:00到18:00这段时间，的这基本趋于稳定且较大；对于时间在18:00以后，基本保持不变了。对于问题一中的各个数据可知道，中的中国馆东南和后滩花北的人流数统计如下：

根据附件Ⅰ中的可以确定在各个时期的大概变趋势，并且根据MATLAB计算和画得图形为（见附件Ⅲ），同理可以找到后滩花园的变化规律（见附件Ⅳ）。即在中国馆东南设2864辆自行车，同时在后滩花园北2136辆自行车。

对于问题二：

要想建立四个点，其中，对美国馆南和宝钢大舞台南两个位置的客流量进行查询并且统计分析：

根据附件Ⅰ中的可以确定美国馆在各个时期的大概变趋势，并且根据MATLAB计算和画得图形为（见附件Ⅴ），同理可以找到宝钢大舞台南的变化规律（见附件Ⅵ）。即：在中国馆东南设立1684辆自行车，在后滩花园北设立1256辆自行车，在美国馆南设立895辆自行车，最后在宝钢大舞台南设立1164辆自行车。

模型二的求解

首先，我们必须考虑在一个空间相对封闭的区域里，对于出行人数较多，与其他站点无法构成循环且在起、始位置上，要初步确定站点；其次，我们在满足旅客需要且充分考虑经济因素的情况下，初步确定了五个点，他们分别是：后滩公园，非洲联合馆，主题馆，世博文化中心，中国馆。

代入数据求的得解为：

由于搜集的数据有限，我们无法求得一些量，故结合图形及有限数据、交通密度的大小比较，我们对一些问题进行合理化的猜想，最终我们确定如下4个租赁点：后滩公园，主题馆，世博文化中心，中国馆。

模型二：是一个方法模型，通过整体分析，局部确定的方法成功将问题简化，运用变量替换的方法成功将问题化为一个简单的数学模型。但其实中间我们简化了很多因素，所以，模型的通用性可能不是很强。如果能采用一些改进的方法，可能会取得更好的效果。

（六）模型的评价与推广

模型优点：

1.我们建立了关于自行车租赁问题的微分方程模型，通过曲线积分上限函数来表示一条函数曲线的累计变化函数，使积分变化更加清晰。

2.同时我们的模型较简单，能够很清晰地反映各变量之间的关系，通用性较强。

3.在满足动态平衡原则的条件下，求出了相应的解。模型二，运用的方法模型较简单，能够快速理清、简化各变量之间的关系。

4.模型二，同时也是对模型一的深化，方法简单，通用性较强。

模型缺点：模型一的函数关系式有点长，计算起来有一定难度。模型二中我们也弱化了一些因素，所以对模型的求解可能存在一定的误差。

模型推广：我们所建立的模型在实际生活中能够运用于图书馆的借书系统、商品的购进与卖出、银行的自动提款系统等。

（七）参考文献

徐全智，《数学建模》，北京：高等教育出版社，2003年

寿纪麟，《数学建模—方法与范例》，西安：西安交通大学出版社，1993年

姜启源，《数学模型》，北京：高等教育出版社， 1993年

姜启源，《数学模型》，北京：高等教育出版社， 1999年

王高雄，《常微分方程》，北京：高等教育出版社，1978年

（八）附件

Ⅰ

Ⅱ