开篇:润墨网以专业的文秘视角,为您筛选了一篇一种重要变形──“两边取”范文,如需获取更多写作素材,在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享!
四川苍溪中学628400
摘要:在解数学题的过程中, 合理运用“两边取”的方法,对一个等式或不等式变形,往往是一个关键步骤,变得恰当可使问题峰回路转,柳暗花明.
关键词:两边取;整体思维;变形;转化
在解数学题的过程中,往往需对一个等式或不等式施行“两边取”的变形技巧. “两边取”是一种整体处理、整体配凑的方法,它注重研究问题的整体形式、整体结构,顺应目标,避繁就简. 变形中巧用“两边取”,犹如添加了“催化剂”,可使解题顺畅.
[⇩]两边取极限
例1 已知数列{xn}满足x2=,xn=(xn-1+xn-2),其中n≥3且n∈N. 若xn=2,则x1等于()
A. B. 3C. 4D. 5
解析 由xn=(xn-1+xn-2)
得xn+xn-1=xn-1+xn-2,
递推得
xn+xn-1=x2+x1=x1 ①
又xn=2,①式两边取极限, 得x1=3. 故选B.
[⇩]两边取倒数
例2 已知数列{an}满足a1=1,an+1=,求数列{an}的通项公式.
解析 由题设知数列{an}为正项数列.
将an+1=两边取倒数得=+,
所以数列
是以=1为首项,为公差的等差数列,
所以=, 故an=.
[⇩]两边取对数
例3 已知数列{an}满足a1=3,an+1=a,求数列{an}的通项公式.
解析 由题设知an>1.
将an+1=a两边取对数得lgan+1=2lgan,即=2,
所以数列{lgan}是首项为lg3,公比为2的等比数列,
故lgan=2n-1×lg3=lg3, 所以an=3.
[⇩]两边取特值
例4 若(x+1)2008=a0+a1x+a2x2+…+a2008x2008,则a0+a4+a8+…+a2008=()
A. 21004 B. 22007
C. 21003-22006 D. 21003+22006
解析 令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+…+a2008=22008①
令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+a2 008=0②
由①②得a0+a2+a4+…+a2008=22 007 ③
令x=i,得(a0-a2+a4-a6+…+a2008)+(a1-a3+a5-a7+…-a2007)i=21004,
所以a0-a2+a4-a6+…+a2 008=21004④
由③④得a0+a4+a8+…+a2008=21003+22006. 所以答案为D.
[⇩]两边取导数
例5 已知n∈N*,求和C+2C+3C+…+nC.
解析 将(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn两边求导得
n(1+x)n-1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn-1.
令x=1,得C+2C+3C+…+nC=n・2n-1.
例6 若(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a11(x-1)11,则
(a1+3a3+…+11a11)2-(2a2+4a4+…+10a10)2=. (用数字作答)
解析 由(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a11(x-1)11,两边求导得
2x(x-2)9+9(x2+1)(x-2)8=a1+2a2(x-1)+3a3(x-1)2+…+11a11(x-1)10,
令x=2,得a1+2a2+3a3+…+10a10+11a11=0,所以答案为0.
[⇩]两边取共轭
例7 设z∈C,解方程z-2|z|=-7+4i.
解析 由已知得z=2|z|-7+4i,两边取共轭得z=2|z|-7-4i.
两式相乘得|z|2=(2|z|-7)2+16.
解得|z|=5或|z|=,从而求得z=3+4i或z=+4i.
[⇩]两边取函数
例8 已知定义在(-1,1)上的函数f(x)满足f
=1,且对x,y∈(-1,1)时,有f(x)-f(y)=f
.
(1)判断f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并证明之;
(2)令x1=,xn+1=,求数列{f(xn)}的通项公式.
解析 (1)令x=y=0,得f(0)=0. 又令x=0,得f(0)-f(y)=f(-y),
即f(-y)=-f(y),故f(x)在(-1,1)上为奇函数.
(2)因为数列{xn}满足x1=,xn+1=
将xn+1=两边取函数得
f(xn+1)=f
=f(xn)-f(-xn)=2f(x),
故f(xn)=2n-1.
[⇩]两边乘方
例9 已知数列{an}满足a1=1,an=(n≥2),求数列{an}的通项公式.
解析 已知递推式两边同时立方得a-a=3(n≥2).
所以数列{a}是首项为1,公差为3的等差数列,
所以a=a+(n-1)×3=3n-2,故an=.
例10 设数列{an}满足a1=2,an+1=an+(n=1,2,3,…).
求证:an>对一切正整数n成立.
证明当n≥2时,an=an-1+①
将①式两边平方,并整理得a-a=2+,
所以a=a+(a-a)+(a-a)+…+(a-a)=a+2(n-1)++…+>22+2(n-1)=2n+2>2n+1.
又a1=2>,所以an>(n∈N*).
[⇩]两边取模
例11 如图1,已知▱ABCD中,顶点A(0,0),B(4,-3),点P内分所成的比为2,当点D在以A为圆心,3为半径的圆上运动时,求点P的轨迹.
[P][C][B][x][y][A][D]
图1
解析 视坐标平面为复平面. 设点B,C,D,P对应的复数分别为zB,zC,zD,zP,则|zD|=3.
由题设得zB=4-3i,zP=zC,zC=zD+zB,
所以zD=zP-(4-3i),所以zD=zP-
-2i,
两边取模得zP-
-2i=2,
可见,点P的轨迹为以
,-2为圆心,2为半径的圆.
例12 如图2,已知圆C的方程为(x-2)2+y2=1,在圆C上任取一点Q,以OQ为边逆时针作正OQR,求点R的轨迹方程.
[R][y][O][2][x][Q]
图2
解析 视坐标平面为复平面.
设Q,R对应的复数分别为zQ,zR,则zQ-2=1.
由题设得zR=zQcos
+isin
,
所以zR-2
cos+isin
=
cos+isin
(z-2),
两边取模得zR-(
1+i)=1,
即点R的轨迹方程为(x-1)2+(y-)2=1.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文