“经验型”数学活动设计误区分析

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在《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》中，基本活动经验是总目标中的重要内容，即“通过义务教育阶段的学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，并且要求作为积累数学活动经验重要载体的“综合与实践”教学活动应当保证每学期至少一次[1]。

从教学实践来看，笔者以为有部分数学活动反映了人们认识还存在着误区。现以部分实验教材或配套综合实践活动教材中内容为例，从一线教师设计与开发“经验型”数学活动的角度做些分析，并尽可能加以改进，以求能够更好地发挥“经验型”数学活动的作用。

一、 “幼稚化”误区

仅仅是量量拼拼这样的操作活动而不做活动后的理性提升是“幼稚化”的表现：对于学生的思维能力估计不足，人为降低了应该达到的要求。其实，活动是基础，通过活动会形成初步感性认识，在此基础上进行提升，上升到理性认识的高度，这样的数学活动才能算是真正意义上的“经验型”数学活动，也才是有价值的。

案例一：“数学实验室”[2]

如图1，画∠AOB=90°，并且画∠AOB的平分线OC。

（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，并比较PE、PF的长度。

（2）把三角尺绕点P旋转，比较PE、PF的长度，你能得到什么结论？你的结论一定成立吗？与同学交流。

分析：苏科版配套教师用书中指出，学生对本节数学实验室探索得到的结论就有如何“说理”的需求，虽然学生暂时不能解决，但这个悬念促使学生向往、追求着“说理”，结论（PE=PF）的证明，安排在九（上）“图形与证明（二）中”[3]。可见，编者认为此处结论仅仅是通过观察与测量而获得的。

此处，操作确实有必要，量一量有助于发现规律，转一转有助于辅助线的添加，问题是，量量转转就结束的话，将学生的理解能力估计得偏低了一些。事实上，从苏科版教材来看，说理所需要的知识（角平分线性质与三角形全等的知识）学生早已具备，而图形旋转中两种特殊情况（①PEAO，四边形PEOF为正方形；②E、O重合，POF为等腰直角三角形）其中任意一种均提示了要说理所需添加的辅助线，加上之前学生又多次进行了“用分行的‘因为……所以……理由是……’方式的说理”[3]。如果不进行说理，活动中积累了的感性认识便得不到提升，学生的思维能力便无法得到进一步发展。容易实施的建议是，教师在活动后增加“说理”的要求：你能够利用所学过的数学知识来说明该结论是正确的吗？与同学交流。

二、 “手工化”误区

“经验型”数学活动首先是关于数学的活动，其目的是学生能够主动建构数学学科的一些核心知识（即对于学生后续数学内容学习不可或缺的知识或者经常要用到的知识），感受常见的数学思想方法，逐步发展数学思维方式，积累数学基本活动经验。

案例二：制作一个五角星

通过折纸（图2），你能制作一个五角星吗？沿不同的角α剪开，得到的五角星形状相同吗？哪一种更美观？变换不同的角α试一试！

分析：这个例子介绍了剪五角星的方法，它关注的是剪得五角星，关注的是是否美观，并没有从数学的角度来进一步分析，称为手工活动比较合适。

需要指出的是，轴对称图形其对称轴的条数决定着将平角平分相应等份数的数目（如果某个轴对称图形有n条对称轴，那么需要将折叠得到的平角n等分），这是设计具有一定条数轴对称图形的核心，也是能够迁移的关键。对此，最好能够让学生在活动中自行发现，如有难度，至少应该努力让他们感受到。建议做如下改进。

1.观察一个正五角星，如图3，猜测该图形有何特征。

（①是轴对称图形，有5条对称轴；②5个角度数相等，都是36°，其和为180°；③是旋转对称图形，O为旋转中心，旋转角度数为72°；④E、F、G、B在同一直线上。）

2.验证你的猜测。

（相应方法分别是：折叠，度量，旋转，直尺画直线）

3.试对1.中结论②、结论③进行说理。

4.剪五角星

（1）折纸 按照图4（1）——（2）方法折纸

思考：

①为何要将一个平角五等分？猜一猜：“五等分”中数字“五”跟图形对称轴条数有何关系？

②每一等分是多少度？

③如要求剪一个具有六条或者八条对称轴的图形，如何折纸？n条呢？

（2）剪纸 沿着图4（2）中AG剪纸，得五角星（图4（3））

思考：

①为使得E、F、B、G在同一直线上，∠AGO必须是多少度？ （可以测量。）

②不借助于测量，你能算出∠AGO的大小吗？

③你能够由算出的∠AGO度数来说明E、F、B、G在同一直线上吗？

（思路：图3中∠AGF=72°，∠AGO=126°，从而∠OGF=54°，由∠FGB=180°得F、G、B在同一直线上。）

④猜测：当∠AGO大小发生变化时，五角星的形状会如何变化？做一做，验证你的猜测。

三、 “竞赛化”误区

“经验型”数学活动中获得的数学知识、数学思想方法应该是活动时根据学生的实际情况“生长”出来的，即是由学生主动建构出来的，而不是凭空出现、给人感觉是从天上掉下来的，同时，需要解决的问题其综合性也不宜过强，应以大多数学生能够理解接受为宜，否则，活动就“变味”了，变成了数学竞赛辅导活动。

案例三： “棋盘上马的行踪”（节选）

1.活动1：如图5，棋子“马”（6，4）跳几步可从现在的位置跳到点M（3，2）的位置？描述你的走法，并与同学交流。

思考1：最少几步可以走到？还可以几步走到？

思考2：你发现了“可以跳到”的步数有什么特点吗？能解释其中的原因吗？

2.活动创新2：如果棋盘足够大，一匹“步伐”为1×n的“马”能否从任意位置出发，不重复不遗漏地走遍整个棋盘（即每一点都走到并且只走一次）？请写出你的结论。

分析：对于“活动1”，书中卡通人指出，“不妨将‘马’目前的位置涂成黑点，与黑点相邻位置涂成白点，依次将半张棋盘全部标记，这将有助于寻找规律”[5]。卡通人的指导对于学生解答该问题固然有一定的帮助，然而“为什么要染色，为什么要这么染色”呢？方法从天而降，学生被牵着鼻子走，在后面活动中也不容易想到利用染色图来解决问题。

笔者猜测，可能是设计者对于学生现有认知水平不够熟悉，没有从该角度进行审视与修改，相关内容于是便以“空降”的形式出现了。修改建议是从方法的适当铺垫角度做改进，增加一个探索性活动，使得方法是“生长”出的。

（增加）“马”跳的特征

1.图5中，如果棋子“马”的最初位置为点（6，4），只跳一步，可以跳到哪些点？（请用坐标来表示。）

2.从奇偶性角度考虑。

（1）这八个点坐标和都是什么数？与最初位置（6，4）坐标和相比，奇偶性如何变化？

（2）如果最初位置为点（6，3），跳一步，所到点的坐标和都是什么数？与最初位置（6，3）相比，奇偶性如何变化？

3.现用红色和黑色来区分坐标和为奇偶数的点。点（6，4）涂成黑色。

（1）你觉得图5中点（6，3）涂成什么颜色为好？点（0，0）呢？

（2）按照这样的涂色方法来对图5中的点涂色。这时所涂颜色有何规律？

4.在涂色后的棋盘上，马从点（6，4）出发，跳一次，跳到的点与点（6，4）颜色相同吗？

跳两次，最后跳到的点与点（6，4）颜色相同吗？跳奇数次呢？偶数次呢？

至于“活动创新2”，通过前面的数学活动，学生仅仅知道棋子“马”从图5位置出发，按照走“日”字的走法能够不重复不遗漏地走遍棋盘，欠缺对于任意一个位置不重复不遗漏地走遍棋盘情形的探讨，直接跳到“1×n”的情形可谓跨度太大，同时书中提供的答案并不能令人信服。修改建议是根据学生的接受能力适当降低问题难度，比如：如果棋盘足够大，一匹“步伐”为1×4的“马”能否从任意位置出发，走遍整个棋盘？请写出你的结论。

综上所述，“经验型”数学活动是关于数学的活动，它以学生动手实践活动中获得的感性认识为基础，根据学生已有的认知水平、可能的接受能力从数学的角度进行分析、归纳与提升，形成基本活动经验。这样数学活动方向才不会发生偏差，效果才会更好，因而也才是很有价值的。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部制定.全日制义务教育数学课程标准（2011版）.北京：北京师范大学出版社，2011.

[2] 杨裕前，董林伟主编.义务教育课程标准实验教科书.数学八年级（下册）.南京：江苏科技出版社，2006.

[3] 杨裕前，董林伟主编.数学教师教学参考资料八年级（下册）.南京：江苏科技出版社，2007.

[4] 林群主编，李海东分册主编.义务教育课程标准实验教科书.数学七年级（上册）.北京：人民教育出版社，2007.

[5] 杨裕前，董林伟主编.孙朝仁分册主编.义务教育课程标准实验教科书.数学综合实践活动.八年级（上册）.南京：江苏科技出版社，2010.