例说函数与方程思想在解题中的应用

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【摘要】：函数与方程是中学数学中最为重要的内容。函数与方程思想更是中学数学中的重要基本思想之一，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

【关键词】：函数思想；方程思想；应用

[Abstract]: function and equation is the most important content in middle school mathematics. Function and equation thought is one of the important basic thought of in the high school mathematics, has been widely used in problem solving, over the years is a key test of the college entrance examination.

[keyword]: function; equation; application

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）

函数与方程是中学数学中最为重要的内容。函数与方程思想更是中学数学中的重要基本思想之一，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。

函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。

函数与表达式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。

函数与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。

解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。

立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。

高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。

第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；

第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；

第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；

第四层次：构造方程或不等式求解问题。

其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。

纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

函数思想

所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。

构造函数，运用函数的性质

例1.（1）已知关于的方程有唯一解，求的值；

（2）解不等式。

分析：（1）构造函数，则问题转化为求的零点唯一时的。

（2）由观察可构造函数再利用函数的性质，解决问题。

解析：（1）令，

的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解），。

（2）设，易证在区间内为增函数。点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。

2.选定主元，揭示函数关系

例2．对于的一切值，使不等式恒成立的的取值范围是

分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。

解析; 且，，即。①

当时，不定式①不成立。

当时，设。

当，

即又当，

即故的取值范围时。

点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。

3．选取变元，确定函数关系

例3．函数的值域是。

分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。

解析：由，设，

那么，

当

点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。

4.利用二项式定理构造函数

例4：求证：。

分析：构造函数，比较两个展开式中的系数。

解析：令，展开式中的系数，又

其中的系数为，故=。

点评：利用函数，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。

5.用函数的思想方法解数列题

例5.已知不定式对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。

分析：无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。

解析：令

，

所以为增函数，且

由题意得。

点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。

6.建立函数关系解应用题

例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。

分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示，容积y是x的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。

解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为

由，设容器的容积为y(m),则有

整理得，求导，得

，令即

解得。从而，在定义域内只有在。因此，当时，y取得最大值，这时，高为。

答：当容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积是1.8(m)。

点评：此题容易忽视的时自变量x的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。

7.函数思想在几何中的应用

例7 如图,是圆的直径,垂直于圆所在平面,是圆周上任意一点,设,.求异面直线和的距离.

分析：因为异面直线间的距离是连结异面直线上任意两点的线段中的最短者, 因此本题可用求函数最小值的方法来解, 这里建立函数表达式是解题的关键

解析： 在上任取一点,过点作于,过作于,连结,设,由题设易证

因为是等腰直角三角形,所以

在中,

因为,

所以,当时,

点评：本题主要是根据几何关系建立函数关系式,通过解决函数问题来求出对应的几何问题.

方程的思想

方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。

解方程或分析方程的解

例8.已知实数成等差数列，成等比数列，且求。

分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。

解析：由题意得由1、2两式，解得，将带入3式，整理得

故。经验算，上述两组数符合题意。

点评：本题的列方程组和求解的过程，体现的就是方程的思想。

2通过换元构成新的方程

例9.关于的方程恒有解，求的取值范围。

分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。

解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，

即，

解得

（方法二）设

①当

；

②.

综上可得，。

点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。

3.构造方程求解

例10.设函数，且存在使得成立。

⑴若

⑵若直线的图像交与M,N两点，且M,N两点的连线被直线平分，求出的最大值。

分析：对于⑴小题，由题设条件易得，由方程根的意义可构造一个根为的一元二次方程，再借助韦达定理发现与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出；第⑵小题可先建立的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值。

解析：⑴由题意

的图像的对称轴为，

⑵

。由，代入直线方程，得

当且仅当。

点评：若没有方程的思想意识，则不能从中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根，从而也就无法得出这样有用的关系式，使解答陷入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。

函数与方程相互转化的思想

解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。

例11.已知抛物线

⑴当为何值时，抛物线与轴有两个交点？

⑵若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求的取值范围；

⑶如果抛物线与轴相交于A,B两点，与轴交于C点，且的面积等于2，试确定的值。

分析：⑴令函数，则转化为求方程有两个不等的实根时的值；⑵利用根与系数的关系转化成解不等式；⑶建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解。

解析：⑴令据题意，须，

即。

⑵在得

所以m的取值范围是

⑶由。

点评：型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

总之，函数与方程思想是数学中最基本的思想方法，在数学学习中应注意该思想方法的训练，熟练地予以掌握，强化应用函数思想与方程解决数学问题的意识，不断地提高思维灵活性和深刻性。