两种索单元解析解对比

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摘要：目前索单元有两种形式为抛物线索单元和悬链线索单元，两者均假定索为理想柔索，小应变假定。抛物线索单元在推导协调方程过程中，引入小垂度假定，简化了协调方程，但其应用受局限，仅应用于小垂度或两端高差较小的情况；悬链线索单元荷载沿索长均布，曲线形状为悬链线，其协调方程及曲线方程复杂，却是沿索长均布受荷索元形状的精确解。

关键字：抛物线索单元；悬链线索单元；解析法；

根据索单元所受荷载及垂度的不同，可将其分为抛物线索单元和悬链线索单元。利用两种单元进行分析时，均采用如下相同的基本假定：

（1）索为理想柔索，只能承受拉力，不能承受压且无弯曲刚度；

（2）索材料符合虎克定律，且满足小应变假定。

两种单元对索的基本假定一致，但两种单元在求解的推导过程中对索所受力的假定、索形状的假定却不同，导致两种索单元解析解的不同。

1 抛物线索单元

抛物线索单元其平衡形状认为成抛物线形状，抛物线索单元除了基本假定外，还假定：索为小垂度；索段上承受的分布荷载近似认为沿弦长均布。

图1为抛物线索单元，定义其局部坐标o-xz，其中x轴平行于索段在整体坐标系o-xy平面上的投影线，z轴和z轴与索上均布荷载同向。根据悬索理论，曲线方程为：

（1.1）

式中：l为悬索两端节点的水平距离，c为悬索两端节点的竖向高度差，r为悬索两端节点的弦向距离，t为悬索张力，h为索力水平分量，为常数。

图 1抛物线索单元

根据曲线方程，索两端节点的切线与x（水平面）的夹角，可以得到下式：

（1.2）

引入小变形假定，索由于张力t引起的变形伸长量Δs可由下式近似求得：

（1.3）

引入小垂度假定，变形后索长s近似按如下求得：

（1.4）

根据s0+Δs=s的变形协调条件，可以得到抛物线索单元的变形协调方程式为：

（1.5）

式（1.5）为给定原长为s0的索在其自重作用下的变形协调方程，索张力水平分量（h）、形状参数（l，c）、索上均布荷载 以及索的材料特性（E，A）之间的关系。

2 悬链线索单元

与抛物线索单元不同，悬链线索单元认为索的平衡曲线为悬链线，并假定索上的荷载（包括自重）沿索长均布时，并考虑索的大垂度。图2为悬链线索单元，定义其局部坐标系o-xz，其中x轴平行于索段在整体坐标系o-xy平面上的投影线，z轴和z轴与索上均布荷载同向。其曲线方程为：

(2.1)

式中：L是悬索两端节点的水平距离；C是悬索两端节点的竖向高差；q为沿索长的均布荷载；H是悬索张力的水平分量，为常数。

图 2悬链线索单元

将式(2.1)对x进行求导，可得悬链线斜率方程为：

(2.2)

当 ＝0时，有 。索端张力Ti, Tj与z’(x),H的关系式为:

(2.3)

在局部坐标系o-xz下，索端张力在各坐标轴上的分量为:

(2.4)

在整体坐标系下，索端张力对索两端i,j节点产生的节点力分别为:

(2.5)

(2.6)

以上两式中：(xi,yi,zi)分别是单元两端节点在整体坐标系下的坐标。

根据几何条件，变形后索长s可按下式计算：

(2.7)

引入小应变的假定，索由于张力引起的变形伸长量Δs可由下式求得：

(2.8)

根据s0+Δs=s的变形协调条件，可以得到悬链线索单元的变形协调方程式为：

(2.9)

式(2.9)反映了索单元原长（s0）、索张力水平分量（H）、形状参数（L，c）、索上均布荷载q以及索的材料特性（E，A）之间的关系。

3抛物线索单元与悬链线索单元比较

抛物线索单元在推导协调方程过程中，引入小垂度假定，而悬链线索单元无此假定。抛物线索单元的曲线方程和协调方程都较悬链线索单元的简单。两者索单元曲线方程与协调方程对比如下：

抛物线索单元曲线方程为：

(3.1)

协调方程为：

(3.2)

悬链线索单元曲线方程为：

(3.3)

协调方程为：

(3.4)

(3.5)

抛物线方程比悬链线方程明显简单，而且小垂度假定的引入使得抛物线索单元的协调方程较悬链线的协调方程更加简单。两者的应用性，运用以下算例进行对比。

算例 索的弹性模量E=1.13×1011N/m2，索截面面积为A=5.48×10-4m2，均布荷载q=46N/m2（对于抛物线索使得r=l，均布荷载沿即x轴分布；悬链线索沿索长均匀分布）。给定原长情况下，各自的索中拉力h：

（1）

（2）

（3）

（4）

利用matlab计算结果如下表所示：

表1 抛物线与悬链线索单元拉力值

编号 抛物线索单元h（kN） 悬链线索单元H（kN）

（1） 1.7902×104 3.5495×105

（2） 7.1744×103 9.6251×104

（3） 2.9637×103 5.3952×104

（4） ―― 3.5445×104

第四种情况时，用抛物线索单元计算出的结果为负值，由此也可看出抛物线索单元只针对于小垂度问题。比较抛物线索单元和悬链线索单元，可知在确定索原长，和其它条件相同时，悬链索单元计算出的索拉力的水平分量较大。

4结论

两种索单元均认为索为理想柔索，不受压且无弯曲刚度，只能承受拉力作用。在其变形过程中，位移为大位移，假定其应变为小应变，服从胡克定理。抛物线索单元在推导协调方程过程中，引入小垂度假定，而悬链线索单元无此假定。抛物线索单元的曲线方程和协调方程都较悬链线索单元的简单，但是有局限性，只能应用于小垂度或两端高差较小的情况，而悬链线索单元是沿索长均布受荷索元形状的精确解。

参考文献

[1]董石麟，罗尧治，赵阳等，新型空间结构分析、设计与施工[M]，北京：人民交通出版社2006。

[2]沈世钊，徐崇宝，赵臣等，悬索结构设计[M]，北京：中国建筑工业出版社，2005。

[3]袁行飞，董石麟，二节点曲线索单元非线性分析[J]，工程力学，1999。

作者简介:周雨斌(1983-),男,湖南株洲人,工学硕士,浙江大学建筑设计研究院,助理工程师

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