例说差异分析法在三角变换中的应用

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我们在解题时常常会碰到题目的条件与结论间在其形式､结构､图形或数字上存在着差异,我们解决数学问题实际上就是在题目的已知条件和待求结论中架起联系的桥梁,也就是在分析题目中已知与待求之间差异的基础上进行分析,化归和消除这些差异｡当然在这个过程中也反映出对数学基础知识掌握的熟练程度､理解程度和数学方法的灵活应用能力｡本文通过数例,阐述差异分析法在求解三角问题中的具体应用,旨在引起读者的关注,从而强化学生在解题时观察问题的意识,提高分析问题､解决问题的能力｡

1.角的差异分析

例1.已知sin( -x)= ,(0

分析:容易看出,已知与所求之间的差异主要是已知角 -x与所求角2x, +x间的｡消除角差异的方法有两种:一是将所有的复角都变为单角,再寻求联系;二是挖掘已知与未知间的联系,发现 -x= -( +x),2x= -2( +x),可将未知角向已知角靠拢｡两种思路都能走得通,本文给出第一种思路的解法｡

解: = = (cosx+sinx)

由已知sin( -x)= (cosx-sinx)= ,

即(cosx-sinx)= ?圯2cosxsinx=

(cosx+sinx) =1+2cosxsinx=

又00

cosx+sinx=

原式= (cosx+sinx)=

评注:三角函数中给条件求值的问题,如何充分利用条件,是解好此类问题的关键｡充分注意到待求角与已知角间的差异与联系,便是决定解题成败的关键｡

2.函数名的差异分析

例2.求证: = sin2α｡

分析:观察知,等式左右两边的差异反映在角､函数名称､次数､结构四个方面,从其某一方面入手,逐渐消除差异就可得到不同的证法｡

证明:从函数入手,化切为弦,以右式为目标,对左式进行变化｡

左式= = = = sin2α=右式

故原式成立｡

评注:本题此外也可从角入手,都化为α,右式易变形为 sinα•cosα,以此式为目标变形左式;或从次数入手,右式为目标,对左式进行将次,本文不再赘述｡由于三角恒等式的证明的方法较多,因而从不同的角度去证明同一问题,并从中比较出较优的证法,可以提高恒等变形能力｡

3.次数的差异分析

例3.(07陕西卷17)已知函数f(x)=2sin cos -2 sin+ ｡

(Ⅰ)求函数的最小正周期及最值;(Ⅱ)(略)｡

分析:先将三角函数式降次化为标准式｡

解:(Ⅰ)Qf(x)=sin + (1-2sin)=sin + cos =2sin +

f(x)的最小正周期T= =4π.

当sin + =-1时,f(x)取得最小值-2;当sin + =1时,f(x)取得最大值2｡

评注:研究三角函数周期､最值､单调性等性质时,常常通过恒等变形将函数转化为基本三角函数类型或y=Asin(ωx+φ)等形式,通常要降次或升幂以达到统一次数的要求进行化归｡

从以上几例可以发现,在进行三角函数的化简､证明､求值变换中,我们解题的关键就是在熟记三角公式的前提下对角､函数名及运算结构进行差异分析,然后利用公式建立差异间的联系,而在整个解题过程中,既要注意把握变换的方向,又要熟悉变换的方法,还要恰当运用某些变换技巧｡

注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”

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