函数单调性的另类思考

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摘要：通过学习函数单调性的判定定理可以提出：由一点处的导数符号能不能判断函数在该点附近的单调性？这个问题利用反证法进行分析可以得出结论：由一点处的导数符号不能判断函数在该点附近的单调性，但如果导函数在该点连续，则可由这一点处的导数符号判别函数在此点附近的单调性。

关键词：导数 单调性 连续性

中图分类号：G42 文献标识码： A 文章编号：1672-1578（2012)05-0052-01

函数单调性判定定理：设函数y=f(x)在[ɑ，b]上连续，在（ɑ，b）内可导。则：(1)如果在（ɑ，b）内f′（x）>0，那么y=f(x)在[ɑ，b]上单调增加；(2)如果在（ɑ，b）内f′（x）

另类思考问题：由一点处的导数符号能不能判断函数在该点附近的单调性？很多初学者认为：对于上述定理使用时，可以通过计算某一特殊点处导函数的符号就可以下定结论，而不用考虑取点的任意性。即认为若y=f(x)在[ɑ，b]上连续，在(ɑ，b)内可导，且f+′（ɑ），f-′（b）存在，能由f+′（ɑ），f-′（b）的符号分别判定出函数y=f(x)在(ɑ,ɑ+δ)，(b-δ,b)这两个小邻域的单调性。即以下结论成立：(1)若f+′（ɑ）>0，则y=f(x)在(ɑ,ɑ+δ)内单调增加；若f+′（ɑ）0，则=f(x)在(b-δ,b)内单调增加；若f-′（b）0。

下面利用反证法，以若f-′（b）

例：分析函数f(x)=x2cos■-0.2x x

思路：首先求解f-′（0）得出其正负号，再讨论函数在x

解：x=0：（分段点的导数由定义出发求解）

f-′（0）=■■=■xcos■-0.2=-0.2

若上面提出的结论成立，则由于f-′（0）0使得函数y=f(x)在(-δ,0)内单调减少。

然而 x

其中当x0-时，2xcos■0，即■2xcos■=0，因此x0-时f′(x)的符号取决于sin■-0.2的符号。而在x0-的过程中sin■在[-1，1]之间振荡（x=0是函数y=sin■的第二类（振荡）间断点），sin■-0.2在[-1.2，0.8]之间振荡，因此，当x0-时f′(x)的符号时正时负，f′(x)不能保持一定的符号，即f′(x)在x=0左侧小邻域内不单调。与由于f-′(0)0使得函数y=f(x)在(-δ,0)内单调减少相矛盾。

由此可以看出，由一点处的导数符号不能判断函数在该点附近的单调性。但如果导函数在该点连续，则可由这一点处的导数符号判别函数在此点附近的单调性（由函数连续性易证）。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2002.

[2]复旦大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社,2000.

[3]王景克.高等数学解题方法与技巧[M].中国林业出版社,2004.