神奇的几何世界

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神奇的几何世界常常让人拍案叫绝，本文介绍几例有趣的发现，与同学们共赏。

随意画出两个大小不一的圆，分别从一个圆心向另一个圆作两条切线(图1)，如果这时把切线与圆的交点A、B、C、D(不是切点)连接起来，竟然能得出一个矩形ABCD!这真有点意外，但对它的证明并不难，可是至今人们还弄不清是谁首先发现了这件奇事。

接着再看著名的阿基米德发现的一个事实：在一个大的半圆中有两个互切的内切半圆，于是在大的半圆内形成一个由圆弧围成的曲边三角形(图2)，同时这两个内切半圆的公切线又把这区域分隔成两块，阿基米德发现被分隔的这两块的内切圆竟然也是同样大小的!他称此为“皮匠刀定理”，因为这个曲边三角形很像当时的皮匠用来切割皮料的刀子。

在日本神庙里的塔壁上常会供上一些木牌，这是数学家们把自己的发现贡献给神的一种方式，公元1800年左右的一块木牌上记录着这一发现：在圆内接多边形中，如果从某个顶点向其它顶点作对角线，那么多边形将被分隔成若干三角形，接着在每个三角形内都作出它们的内切圆(图3左)，那么这些内切圆半径的和居然是个常数，与顶点的选择无关!人们进一步还发现，即使从几个顶点同时作出对角线，只要多边形还是被分割成若干个三角形的话，那么上述结论依然能成立(图3)

人们对圆内接四边形并不陌生，然而对这种四边形的性质却知之不多，但是，早在公元2世纪时，希腊天文学家托勒密却已经知道了以下事实：在圆内接四边形中，两条对角线长的积等于它的两组对边乘积的和(图4)，这条定理现在被称为托勒密定理，托勒密当年曾利用它解决了不少天文学上的计算问题。

无独有偶，伟大的牛顿爵士对圆外切四边形也有非常有趣的发现，他注意到如果在任意圆外作出它的外切四边形，那么这个圆的圆心将永远落在四边形的两对角线中点的连线上(图5)。

最后我们介绍近年来俄罗斯数学家发现的一个定理：有两条平行线，如果以平行线的距离作为正方形的边长，那么当这个正方形随意放在平行线上时，正方形的四边与平行线能产生四个交点，交叉连接这些交点，每次都会形成一个45°的夹角(图6)，你能自己去证明一下吗?

同学们，看到这里，你一定会感到几何世界是那么的神奇和美丽，也一定想亲自揭开几何世界的“神秘面纱”，那么，就让我们好好学习，打好基础吧！