集列的上、下极限

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摘 要：康托尔（cantor）在19世纪创立了集合论成为实变函数理论的出发点。其中，集列的上、下极限是实变函数中的一个难点。讲述了上、下极限的定义，通过例题的分析，介绍了上、下极限的计算方法，并给出单调集列收敛的证明及应用。

关键词：集列 上极限 下极限 单调

中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）001-106-02

1 引言

实变函数论是数学分析中微积分的发展，在数学分析中，人们研究了实变函数论中的可微，可积等基本性质，随着微积分的日益发展，随着数学其他分支和各类实际问题对微积分要求的提高，人们发现数学分析的方法和结果并不能完全令人满意。大家知道，黎曼积分是数学分析研究的主要内容，但是，人们在实际运算中越来越感觉到Riemann积分的缺陷，要摆脱限制，力求更灵活的运算，在这种要求下，实变函数应运而生。时至今日，实变函数论已经渗入到数学的许多分支中，它在各支数学中的应用成了现代数学的一个特征，所以凡是想了解并且掌握近代数学的人，都应该认真地学习实变函数论这门课程。

实变函数论的出发点是一般点集，粗略地说，实变函数论是在点集和集合论的观点与方法渗入数学分析的过程中产生的，用点集的方法研究n维欧氏空间中实变函数性质的学科。在实变中，人们把函数的分析转化为点集关系的研究，从而在点集测度上建立较为完善的积分理论。在实变函数中与集列极限有关的内容就要与上、下极限为基础，可见，集合极限的分析在实变函数中意义很重大，在一般的教学过程中，学生很难真正理解上、下极限的定义及应用。因此，为了方便学生理解，我们先引入数学分析中大家常见的数列上、下极限，类似的提出集列的上下极限以及集列的收敛。结合实例，进一步阐述上、下极限的实质，最后深入的讲解单调集列的收敛及应用。在本文中，我们改进了文献[1]中对定理1的证明和上下极限的计算，方法相对简单，并给出定理2的详细证明，这在文献[1][2]中都没有提及。

2 上下极限的概念

为了便于理解本节内容，首先回顾一下数学分析中所学的数列的上、下极限定义，再引出集列的上、下极限。

2.1 回顾：数列的上、下极限定义

显然，,则,从而。若,则称数列{xn}收敛,将A称为{xn}的极限,记为。

2.2 集列上、下极限定义

2.2.1 基本定义

定义1[1] 设A1,A2,…,An,…是任一列集。由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限,记为或。

显然,用数学符号形式化,可表为

定义2[1] 对集列A1,A2,…,An,…那种除有限个下标外,属于集列中每个集的元素全体所组成的集称为这一集列的下限集或下极限,记为或。

用集合的概念表示如下

。

显然,。

例1 A1=A3=A5=…{0,1}，A2=A4=A6=…{0}则,.

就像数列未必有极限,集合序列当然也可能没有极限。

定义3[1] 若,则称集列{An}收敛,称A为{An}的极限,记为。

2.2.2上、下极限的等价定义

类似于数列的上、下极限,我们可以定义集列的上、下极限。

定理1 对于任意一串集合A1,A2,…,An,…,都有

(1) , (2)。

证明：(1)若对任意的∈,则对任意的n∈N,存在m≥n,使得∈Am,所以对任意的n∈N,有,从而.反之,若,则对任意的n∈N,均有,所以对任意的n∈N,存在m≥n,使得∈Am,从而即。

(2)若对任意的,则存在n∈N,对任意的m≥n,使得∈Am,所以存在n∈N,均有,从而。反之,若,存在n∈N,均有,所以存在n∈N,对任意的m≥n,使得∈Am,从而.即。

例2 设A2m+1=[0,2－],m=0,1,2,…，A2m=[0,1+],m=1,2,3,…

求,。

解:,

。

例3 设An=[0,1+],n=1,2,3，…，求,。

解:,

。

说明：在例3中,集列{An}收敛,且收敛于极限集[0,1].

2.3 单调集列的定义及其收敛的判定

定义4[1] 如果集合序列A1,A2,…,An,…,（简记为{An}）单调上升（下降）,即An An+1（相应地An An+1）对一切n都成立,则称集列{An}为增加(减少)集列.增加与减少的集列统称为单调集列.

定理2 单调集列是收敛的,且

(1)若{An}增加,则。

(2)若{An}减少,则。

证明：(1)若{An}增加,则根据定理1，即上下极限的等价定义,,

,

则,则集列{An}收敛,

且。

(2)若{An}减少,则,

,则,则集列{An}收敛,且。

3 上下极限的应用

定理3[1] 设{si}是一列递增的可测集合：s1 s2 … sn …,令,则。

定理4[1] 设{si}是一列递减的可测集合:s1 s2 … sn …,令,则当时,。

说明：从定理3和定理4中，可知：

对于单增的可测集列，

对单减的可测集列,且当时,

。

参考文献：

[1] 程其襄,张奠宙,魏国强,等.实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2] 江泽坚,吴智泉.实变函数论(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2002.