探求等腰三角形的第三点
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等腰三角形是一类特殊的三角形，在初中数学中有着十分重要的地位，它所蕴涵的几何性质倍受命题人的青睐，本文就近年来在中考试题中出现的“已知等腰三角形的两个顶点，探求在一定条件下的第三点”，在方法上作探讨，以期同学们以后遇到类似问题时能缜密思考，避免漏解。
一、相关知识回顾
2，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任何一点到这条线段两端点距离相等。
二、已知等腰三角形两个顶点，探求第三点的位置所在已知线段AB，求作一点C，使AABC为等腰三角形。
由等腰三角形的定义可知：点C在以点A为圆心，AB为半径的圆上或在以点B为圆心，BA为半径的圆上(与直线AB的交点除外)。
由线段垂直平分线的性质可知：点C在线段AB的垂直平分线上(与AB的交点除外)。
由此可得：点C只能在以上述作法的两个圆上或AB的垂直平分线上(与AB的交点除外)，如图1虚线部分。
三、中考试题分析
例l (2005年山东省东营市)如图2，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(1，1)，在X轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有(
)。
(A)4个
(B)3个
(C)2个
(D)1个
析解：已知点A与O是等腰三角形的两个顶点，在X轴上寻找满足条件的点P可按如下方法：
如图3，(1)以A为圆心，AO为半径画圆，与X轴有异于点O的一点，记为Pl；以O为圆心，OA为半径画弧，与X轴有两个交点，记为P2、P3；
(2)线段OA的垂直平分线与X轴有一个交点，记为P4。
综上可得：符合条件的点P共有4个，故选A。
例2(2007年重庆市)已知，如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____________。
析解：易知，点D与O是等腰三角形的两个顶点，在边BC上寻找满足条件的点P可按如下方法：
如图5，(1)以O为圆心，OD(长为5)为半径画圆，与BC边有一个交点，记为P1；以D为圆心，DO为半径画圆，与BC边有两个交点，记为P2、P3，由已知结合勾股定理等知识可算得：P1(3，4)、P2(2，4)、P3(8，4)。
(2)线段OD的垂直平分线与边BC的交点P4，但此时等腰三角形的腰长不等于5，不合题意。
因此符合条件的点共有3个，其坐标分别是(3，4)、(2，4)、(8，4)。
例3 (2001年江苏省徐州市)边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图6所示，在平面内找点P，使APAB、APBC、APCD、APDA同时为等腰三角形，这样的点P有几个?作出这些点(保留作图痕迹，不写作法)，并写出它们的坐标(不必写出解答过程)。
析解：(1)如图7，以AD为等腰三角形的底，而X轴为AD的垂直平分线，所以所求的点P必在X轴上。
以点A为圆心，AB长为半径画圆，与X轴有两个交点，记为P1，P2，由AD∥BC且AB=CD可推知，P1，P2两点符
(3)若AB(或CD)与AD(或BC)同时为等腰三角形的底，则它们的垂直平分线的交点为坐标原点，易知点P9(O，0)也符合要求
综上可知：符合条件的点P有9个，坐标见上，作图略。