例谈椭圆定义在解题中的应用

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摘要:定义是解决问题的“根”与“源”,深刻理解椭圆的定义,并在解题中能灵活应用,可以简化我们的解题过程,达到事半功倍的效果。

关键词:椭圆、定义、应用

学习数学离不开数学定义的学习,而数学中的定义反映了数学中各个知识点特有属性及内在联系,对它们理解正确与否,会直接影响到数学公式、法则、定理的学习。椭圆学习过程中,我们学习了椭圆的第一定义和第二定义。

椭圆第一定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距。

椭圆第二定义:到一定点与一定直线的距离之比等于定值(这个定值小于1)的点的集合为一椭圆(平面内到定点与到定直线的距离的比是常数e(e>0)的点的轨迹,当0

椭圆的定义在解题过程中有很重要的作用,正确地理解和使用,可以化繁为简,达到事半功倍的效果。下面是椭圆定义在数学解题中常见的应用。

一、 解方程

例1、■+■=20

分析:如果经过两次平方将两个根式的根号去掉求解,运算太繁杂,容易出错,浪费时间。观察两个根式,发现其特点,我们可将式子化■+■=20,令y2=4为则方程可看做是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,长轴长为20的椭圆,原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。即:

■+■=1且y2=4.解得x=±■

二、求轨迹问题

例2:在ABC中,BC=24,AC、BA边上的两条中线之和为39,求ABC的重心的轨迹方程。

解:如图所示,以BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。

设ABC的重心G,由已知的|BD|+|CE|=39,由重心性质

|BG|=■|BD|,|CG|=■|CE|

■|BG|+■|CG|=39即|BG|+|CG|=26

又BC=24,26>BC。故重心G的轨迹是以B、C为焦点的椭圆(除去与直线BC的两个交点)。其方程为■+■=1(y≠0)。

点评:本题综合考察了椭圆的定义、重心的性质等知识。利用椭圆的定义求动点的轨迹是求轨迹问题中常用的解题方法。

三、求焦点三角形的面积

例3:已知:P点为椭圆■+■=1

上的点,F■,F■是椭圆的两个焦点,∠F■PF■=60°,求F■PF■的面积。

解:在椭圆■+■=1中,a=5,b=3c=4

点P在椭圆上,

|PF■|+|PF■|=10 (1)

在F■PF■中,由余弦定理得:

|PF■|■+|PF■|■-2|PF■||PF■|cos60°=64 (2)

(1)■-(2)得|PF■||PF■|=12,

S■=■|PF■||PF■|sin60°

=■×12×■=3■

点评:关于椭圆中的焦点三角形问题,常常用椭圆的定义,结合三角形中的正弦定理、余弦定理等来解决,本题中把|PF■||PF■|作为一个整体来求,减少了运算量,这种整体求解,整体代入的方法值得我们认真体会。

四、求离心率

例4、已知P是椭圆■+■=1(a>b>0)

上任意一点,F■,F■是两个焦点,若

∠PF■F■=α,∠PF■F■=β求e。

解:PF■F■中,由正弦定理有■=■=■?坜■

=■?坜e=■=■

五、判断方程表示的曲线

例5、已知■=■|x+y-2|,x∈R,y∈R试判断点M的轨迹是怎样的曲线。

分析:如果将原方程平方,化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线,注意式子结构的特点,左边可看成点M到点(2,0)的距离,从而可联想右边可化为点M到直线x+y-2=0的距离,即有■=■,由此联想到椭圆的第二定义就很简单的求出点M的轨迹是椭圆。

六、求参数的取值范围

例6、(2004年高考,全国卷Ⅲ)设椭圆

■+y■=1的两个焦点是F■(-c,0),F■(c,0),(c>0)且椭圆上存在点P,使得直线PF1与直线PF2垂直,求m的取值范围。

解:由题意知m>0,a=■,b=1,c=■,且|PF■|■+|PF■|■=|F■F■|■=4c■,|PF■|+|PF■|=2a,由两式可得,|PF■|・|PF■|=2a■-2c■=2b■,又

|PF■|・|PF■|≤■)■=a■,

所以2b■≤a■,即2≤m+1,所以m≥1

作者单位:

山西电子高级技工学校

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