一道课本例题的演变\拓展及应用

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课本例题和习题具有不容置疑的示范性和权威性，而其极强的衍变能力成为高考试题推陈出新的源泉，因而，深受高考命题专家的青睐.在它们身上做文章不仅能使学生巩固所学的新知识，学会运用新知识解决实际问题，而且还有助于学生掌握和运用数学思想、方法，发展学生的数学思维，最终达到提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力的目的。那么，作为教师该如何抓住教材例、习题之间的联系，引导学生对这些例、习题进行演变、拓展和应用呢？

问题提出：普通高中新课程标准实验教科书（人教版）A版选修2-1P41例题3

设点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0），直线AM、BM交于点M，且它们的斜率之积是-，求点M的轨迹方程。

分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM、BM的斜率就可以用含x，y的式子来表示，再由kAM•kBM=-得出点M的轨迹方程.

解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标为（-5，0），

所以，直线AM斜率为kAM=-（x≠-5）

同理，直线BM斜率为kBM=（x≠5）

由已知得•=-（x≠±5）

化简，得点M的轨迹方程为+=1（x≠±5）.（椭圆）

类似地，出现在教材及高考题中的有：

1.普通高中新课程标准实验教科书（人教版）A版选修2-1P55探究。

设点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0），直线AM、BM交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程。

仿照例3的思路，有•=（x≠±5）

化简，得点M的轨迹方程为-=1（x≠±5）.（双曲线）

2.普通高中新课程标准实验教科书（人教版）A版选修2-1P80复习参考题10：

已知VABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-5，0）、（5，0），且AC、BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）试探求顶点C的轨迹.

仿照例3的思路，有•=m（x≠±5）

化简，得点C的轨迹方程为-=1（x≠±5）

当-1＜m＜0时为焦点在x轴上的椭圆，

当m=-1时是圆心在原点，半径为5的圆，

当m＜-1时为焦点在y轴上的椭圆，

当m＞0时为焦点在x轴上的双曲线.

3.（2010北京理19）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-，求动点P的轨迹方程。

解：因为点B与A（-1，1）关于原点O对称，所以B点得坐标为（1，-1）。

设点P的坐标为（x，y）

由题意得•=-

化简得x2+3y2=4（x≠±1）.

故动点的轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）.

为了充分挖掘例题的教育功能，我们诱导学生将问题提出的条件与结论互换后继续探讨。

演变1：设点A、B是曲线-（x≠±5）在轴上两端点，P是曲线上异于A、B的任意一点，求kPA•kPB的值。

解：由题意知，A（-5，0）、B（5，0），设点P的坐标为（x，y），（x≠±5）

则kAM=，kPM=所以，kAM•kBM=

又P是曲线上的点，所以y2=mx2-25m，，代入上式得：kAM•kBM=m.

说明：此时的曲线包含焦点在x、y轴上的椭圆（m＜0）及焦点在x轴上的双曲线（m>0）及圆（m=-1）.

更一般地，可将A、B视为过椭圆中心的直线与椭圆的交点，P为椭圆上异于A、B任意一点，此时，kAM•kBM的值是否变化呢？

演变2：设椭圆+=1（m>0，n>0）（不论焦点是在x轴上，还是焦点在y轴上）上任意一点P，与过中心的弦AB的两端点A、B连线PA、PB与对称轴不平行，求kAM•kBM的值。

解：设P（x，y），A（x1，y1）则B（-x1，-y1）+=1，+=1两式相减得：

=，=-

kAM•kBM=••==-为定值。

说明：此性质是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角，即kAM•kBM=-1”在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性。

进一步思考：若将椭圆改为双曲线，命题是否成立？

演变3：设双曲线+=1（m>0，n

解：设则P（x，y），A（x1，y1），则B（-x1，-y1），

+=1，+=1两式相减得：

+，=-

kAM•kBM为定值。

归纳：对于方程+=1（m>0，n

①当m=n>0时，方程为圆，此时kAM•kBM=-1；

②当m>0，n>0且m≠n时，方程为椭圆，此时kAM•kBM=-；

③当mn

说明：仍可进一步思考，当曲线的中心不在原点时，结论是否发生变化？

演变的应用1：（09福建文22）已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：+=1（a>b>0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线l：x=与直线分别交于M、N两点。

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

解：（I）由已知得，椭圆C的左顶点为A（-2，0），上顶点为D（0，1），a=2，b=1

故椭圆的方程为+y2=1

（Ⅱ）设M（，y1），N（，y2）

则由演变2知：kAM•kBM=-

即•=-

y1y2=-

|MN|=|y1-y2|=y1+（-y2）≥2＝

当且仅当y1＝-y2＝-时取等号

故线段MN的长度的最小值为。

（此解法比标准解答简捷得多）

演变的应用2：（06东北模拟）B1，B2是椭圆+=1（a>b>0）的短轴的两端点，P是椭圆上与B1，B2不重合的点，B1P，B2P分别交x轴于M，N两点，

求证：|OM|•|ON|为定值。

证明：（如图）B1（0，b）B2（0，-b）

设M（xM，0），M（xN，0）

则由演变2知：即

kPB1•kPB2=-，即kMB1•kNB2=-

•=-

xM•xN=a2

|OM|•|ON|=a2

将演变中的条件kPA•kPB=-进一步延伸，可得：

拓展1：若M是椭圆+=1（m>0，n>0）（不论焦点是在x轴上，还是焦点在y轴上）的弦AB之中点，则直线OM与直线AB的斜率之积为定值。

证明：（如图）连接AO并延长交椭圆于点P，连结OM，BP，则OM∥BP

kOM=kBP

由性质知kAB•kPB=-

kOM•kAB=-为定值

说明：此性质是圆中的垂径定理“圆心与弦中点连线垂直于弦”在椭圆中的推广。

若将椭圆改为双曲线，命题是否成立？

拓展2：若M是双曲线+=1（mn

则kOM•kAB=kPB•kAB=-

若将椭圆改为抛物线，命题会发生什么变化？（学生思考、解释）

拓展3：若M是抛物线y2=2px（p>0）的弦AB之中点，求直线OM与直线AB的斜率之积。

解：设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）则y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：

y12-y22=2p（x1-x2），=2p

kOM•kAB=•=

拓展应用1：（2010全国卷2理21）己知斜率为1的直线l与双曲线C：+=1（a>0，b>0）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．求C的离心率。

解：由拓展2知

k1•kOM=即1•=

e=2

拓展应用2：（06上海文21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（-，0），右顶点为D（2，0），设点A（1，）.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；

解：（1）（解法略）椭圆的标准方程为+y2=1

（2）设线段PA的中点为M（x，y），点P的坐标是（x0，y0），

由x=y= 得x0=2x-1y0=2y-

由，点P在椭圆上，得+（2y-）2=1，

线段PA中点M的轨迹方程是

（x-）2+4（y-）2=1.

若用拓展1，本题（2）可这样解：

设线段AB，CD的中点分别为M，M′，

由拓展1知k1•kOM=-k1•kOM′=-

kOM=kOM′故M与M′重合

又|AM|=|BM|及|CM|=|DM||AC|=|BD|

由此可见，一般方法虽然具有一定的代表性，但运算比较复杂，稍不小心，便前功尽弃。而运用拓展的知识，运算简捷明了，一步到位。

总之，在中学数学教学中，例题教学占有相当重要的地位，研究例题不仅可达到加深学生对概念、法则、定理等基础知识的理解和掌握的目的，更重要的是可达到开发学生的智力，培养和提高学生解决问题的能力的目的，从而促进学生数学素养的提高。因此，只有充分挖掘例题的内涵，拓展其外延，才能有效地促进学生的数学能力的提高，发展学生的数学应用意识和创新意识，达到以例启思、以点带面、触类旁通、创新变通的目的。这正是我们数学教师执著追求的目标！（责任编辑刘永庆）

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