用运动的眼光看形体

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在由人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书-数学》六年级下册第11页中有一幅图（见图1），展示出了一个长方形围绕其一边旋转一周形成一个圆柱的过程。

图1 圆柱形成过程图

这实际上是把圆柱看作一个运动的长方形在运动过程中所留下的轨迹。在这个运动的过程中，运动的对象是平面上的长方形，运动的方式是旋转。用这样运动的眼光看待圆柱，有益于沟通空间中的圆柱体与平面上的长方形之间的联系。

类似于此，同一册书第24页中的一幅图（见图2），显示出了一个直角三角形围绕其一条直角边旋转一周形成圆锥的过程。同样利用旋转运动的眼光看待圆锥体，沟通了圆锥体与平面上三角形的联系。

图2 圆锥形成过程图

像这样用运动的眼光看待几何形体的研究方式，可以追溯到距今约1800年前希腊数学家帕普斯（希腊：Pappus of Alexandria ，约公元290～350年）所著的《数学汇编（Mathematical Collections）》，其中对旋转体表面积和体积的研究就是采用这种方式。[1]

伟大的科学家、数学家牛顿（Isaac Newton，1643～1727年）于17世纪发明的“流数法”，可以说是微积分诞生的一个标志。论及流数法的基本原理（Principle），牛顿在其名著《流数法与无穷级数》的前言中说：“可以把数学中的量看作是连续的运动产生出来的。”[2]这句话告诉我们，几何形体不仅可以从形状上看成是运动生成的，其求积（Quadrature）[3]问题也可以用运动的方式研究。下面以小学数学课程“图形与几何”中常见的形体为例进行说明。

一、长方形与平行四边形

用静止的眼光看一个长方形，是由四条直线段围成的四边形，并且四个内角都是直角，相对的两条边的长度相等。如果用运动的眼光看，一个长方形可以看作是一条运动的线段EF从AB位置沿着垂直于这条线段的方向平移到CD位置所留下的轨迹（见图3）。

图3 运动形成长方形示意图

从运动的过程中可以看出，这个长方形的大小（面积）由两个因素决定。第一是运动线段EF的长度，第二是线段EF运动的距离。因此两者的乘积就可以表示这个长方形的大小，也就是这个长方形的面积。

对于平行四边形也是类似的，平行四边形ABCD可以看作是一条运动的线段EF从AB位置平移运动到CD位置留下的轨迹（见图4）。

图4 运动形成平行四边形示意图

与长方形的区别在于运动的方向不是沿着垂直于线段EF的方向，而是沿着与线段EF形成一定角度的方向（图4中AC线段或BD线段的方向）。这时所形成的平行四边形的大小同样由线段EF的长度和平移运动的距离决定，这个平移运动的距离是AB与CD之间垂直线段CG的长度，也就是平行四边形的高。因此这个平行四边形的面积就可以表示为两者的乘积。

综上所述，可以对长方形（包括正方形）和平行四边形及其面积形成统一的认识，都可以看成是一条直线段沿着一个确定的方向平移留下的轨迹，其面积都是运动线段的长度与运动距离的乘积，这里的运动距离指的是运动线段的起始位置和终止位置的最短距离，也就是垂直距离。

二、梯形与三角形

如图5的梯形同样可以看成是运动的线段EF从AB位置平移运动到CD位置所留下的轨迹。

图5 运动形成梯形示意图

与前面长方形和平行四边形不同的是，运动的线段EF在运动过程中，其长度在连续、均匀地变化，图5中表现为运动的线段EF自下而上平移运动过程中不断地缩短长度，也可以看成自上而下不断地增加长度。

这里所说的“均匀变化”，指的是运动的线段平移上升的距离如果一样，那么线段变化（缩短或增加）的长度也是相同的。这一点可以从图6更加清晰地看出来。

图6 均匀变化示意图

这种均匀变化类似于等差数列的变化规律，比如下面的5个奇数构成的等差数列：

1，3，5，7，9

从第一项变化到第二项增加了2，那么从第二项变化到第三项也会增加2，依此类推。均匀变化的量的一个重要特征是其算术平均值等于最大数与最小数的算术平均值。比如这五个数“1，3，5，7，9”的平均值，就等于最小数1和最大数9的平均值。

前面图5中梯形的大小（面积）同样可以认为是由运动线段EF的长度以及平移运动的距离所共同确定的。其中运动距离仍然是起始位置和终止位置之间的垂直距离，也就是梯形高的长度。而运动线段EF的长度可以用变化的平均值代替，由于运动过程中的变化是均匀的，所以这个平均值就等于最大值与最小值的算术平均值，也就是。这样就可以得到梯形面积的计算方法是上底与下底长度的平均值与高的乘积。

三角形实质上是梯形的一种特殊情况，也就是运动的线段EF在自下而上地运动过程中，其长度缩短为一个点C时，停止了运动（见图7）。

图7 运动生成三角形示意图

这样上底的长度就是0，因此上底和下底的平均值就是三角形底边长度的二分之一。因此三角形面积公式就是底边长度的二分之一与高的乘积。

总之，梯形和三角形可以统一看作是长度均匀变化的线段沿着一个确定的方向平移运动留下的轨迹，其面积等于运动线段起始位置的长度与终止位置长度的平均值与移动距离的乘积，与平行四边形类似，移动距离指的是两条平行线之间的垂直距离。

三、圆及其面积的认识

用运动的眼光看圆，可以是一条固定长度的直线段（半径）围绕线段的一个端点（圆心）旋转运动一周所留下的轨迹（见图8）。

图8 运动形成圆示意图

与前面几个图形形成过程的区别在于，线段的运动方式不是平移运动，而是旋转运动。与平移运动不同，一条线段在绕其端点旋转的过程中，线段上每两个点旋转所经过的距离都是不一样的。比如图9中，运动线段OB上的B点和A点旋转出来的两个圆周长就是不一样的（见图9）。

图9 旋转距离差异示意图

对圆有了这样的认识，仍然可以仿照前面利用运动线段的长度与运动距离的乘积得到圆的面积公式。这里运动线段的长度就是圆的半径（用字母r表示），由于运动线段上不同的点旋转运动的距离不一样，仿照前面三角形的方法取其平均值，最长的运动距离是2πr（图9中B点的旋转周长），最短的运动距离是0（图9中O点），平均值为：

（2πr+0）÷2=πr

因此圆的面积就是运动线段的长度与运动距离的平均值的乘积，也就是：

πr×r=πr2

用运动的眼光还有另外一种方式看圆面的形成，即把圆面看成是一个在圆周连续不断地缩小为圆心的过程中所留下的轨迹（见图10）。

图10 圆周缩小形成圆示意图

这样的运动过程类似于平移运动，圆周上每一个点都是沿着直线运动，运动的距离就是半径的长度r。与前面三角形的情况类似，圆周长度在运动过程中连续、均匀地变化（缩小）。仿照前面三角形的情况，用圆周长度的平均值乘以运动距离r，就得到圆的面积公式πr2。

四、体的认识

前面讨论的图形都是平面图形，用运动的眼光看表现为运动的“线”所留下的轨迹成为“面”，可以概括为“线动成面”。其面积公式可以认为是“线”的长度与“运动距离”的乘积。用类似于此的方式看待立体图形，则表现为运动的“面”所留下的轨迹成为“体”，也即“面动成体”。比如长方体就可以看作是一个长方形沿着垂直于自身的方向平移运动所留下的轨迹（见图11）。

图11 面动成体示意图

仿照“线动成面”的方法，长方体的体积显然由运动长方形的面积以及平移运动的距离决定。如果用字母a和字母b分别表示运动长方形ABDC的长和宽，那么其面积就是a×b。用字母c表示从起始位置运动到终止位置的距离，那么长方体的体积就是a×b×c，与长方形面积的认识方式实质上是一样的。同样的方法也可以用于圆柱体积的认识，如果把一个圆柱看成是一个运动的圆沿着垂直于自身的方向平移运动的轨迹，那么圆柱的体积实质上就是这个圆的面积与运动距离的乘积，这个运动距离就是圆柱的高。

在“长方体的认识”的教学中，通常会引导学生通过观察得到“长方体有6个面、8个顶点和12条棱”的结论。这里的观察仅仅是在长方体模型上直接通过“数数”的方法得到结论的过程。如果用运动的眼光看长方体，还可以通过推理的方式得到这些结论，也就是从其他结论“想出”这些结论。

图11中运动的长方形ABDC自身有4个顶点和4条边（棱），从起始位置平移运动到终止位置，顶点数自然就成为4的2倍，也就是8（4×2）个了。棱的数量在起始位置和终止位置各有4条，4个顶点运动过程中留下的轨迹又会产生4条，因此棱数就是4的3倍，也就是12（4×3）条。在起始位置和终止位置各有1个面，运动的长方形ABDC的4条边运动的轨迹又产生4个面，因此长方体面的数量就是6（1+1+4）个。如果引导学生进行以上的思考，自然会丰富学生的学习活动，不仅有“看”，而且有“想”。这样的“想”有助于沟通长方体各个元素之间的联系。

在小学数学六年级学习的立体图形中，圆锥具有与前面图形不同的特殊性。用运动的眼光看，可以是一个不断缩小的圆，直到缩小为一点所留下的轨迹；也可以是一个直角三角形（图12中三角形ABO）绕一条直角边旋转一周所留下的轨迹（见图12）。

图12 圆锥形成示意图

按照前面梯形和三角形的思路，圆锥体积应当是底面积πr2的二分之一与运动距离的乘积，即πr2h。而实际并非如此，圆锥体积公式是πr2h。其原因在于自下而上运动的圆面积的变化不是前面所说的均匀变化，也就是在运动距离相同的情况下，圆面积缩小的部分是不相同的。比如下面的一列数：

1，4，9，16，25

从第一项变化到第二项，增加了3；从第二项变化到第三项增加了5；从第三项变化到第四项增加了7，等等。这样一组数的平均值（=11）与其中最小数与最大数的平均值（=13）就不相等了。

对于图12的圆锥，可以用微积分中积分的办法证明这个平均值是πr2。[4]因此圆锥的体积是这个平均值与运动距离h的乘积，即πr2h。

五、运动的眼光与基本思想

点、线、面、体是构成一切几何图形的基本元素。在明代学者徐光启（1562～1633）与意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552～1610）合作翻译的古希腊欧几里得的《几何原本》开篇词中，用如下的语言描述了点、线、面、体之间的关系：“凡论几何先从一点起，自点引之为线，线展为面，面积为体。”这番话体现了点与线、线与面、面与体之间的因果关系，也就是线是因点而产生的，面是因线而产生的，体是因面而产生的。与前面论及的“线动成面”和“面动成体”是一脉相承的。

辩证唯物主义方法论认为，事物是不会孤立存在的，一定与周围其他事物有一定的联系，这种联系常常表现为相互依赖与制约。[5]运动的眼光实际上就是沟通了不同形体之间的这种依赖与制约的联系，也就是通常所说的有机联系。因此用运动的眼光认识几何形体，可以渗透辩证唯物主义“普遍联系”的方法论思想。

另外，不同图形的面积公式和体积公式，孤立地看表现形式互不相同。用运动的眼光可以发现其中的共性，进而形成统一的认识。如果把前面所说的“线动成面”和“面动成体”统一说成“A动成B”，面积和体积统一说成“度量”，那么前面所有的面积和体积公式都可以统一说成：A的度量的平均值与运动距离平均值的乘积等于B的度量。因此普遍联系思想的另外一个含义是“异中求同”，也就是发现表面看不同事物之间的内在联系，把这种内在联系挖掘出来，就成为了更具普遍意义的一般规律。这种普遍规律在微积分中就成为了“积分中值定理”。

我国20世纪的数学教育家许莼舫先生曾经说过：“初学的人往往把几何图形看成静止的、固定的，而不容易体会到表面上是静止、固定的几何图形，也可以代表运动的观念。” [6]运动与静止是互相对立的一对矛盾，辩证唯物主义关于对立统一的观点认为，矛盾的双方在一定条件下是可以相互转化的。比如一条曲线，静态地看是无数个点聚集而成的。如果改变这种眼光，也可以看成是一个运动的点在运动过程中所留下的轨迹。因此看待几何图形的眼光就成为了运动与静止这一对矛盾相互转化的条件，几何形体实质上是运动与静止这一对矛盾的统一体。由此可见，在数学教学中引导学生用运动的眼光看几何图形，还可以渗透辩证唯物主义对立统一的基本思想。

注重在数学课程与教学中渗透思想方法是我国数学教育的传统，《义务教育数学课程标准（2011年版）》更是把“基本思想”列入了数学课程总目标。因此对数学课程内容中基本思想的内涵和外延进行研究十分必要。一个基本观点是，数学课程内容中所蕴含的基本思想应当是无数前人大师在数学研究实践中产生的无数想法凝练出来的，具有多样性、复杂性和隐蔽性。不可能用几个诸如抽象、模型、推理这样的词汇全部概括出来。数学课程内容中蕴含的基本思想是一个无尽的宝藏，需要点点滴滴地开掘和积累。

注释与参考文献：

[1]郜舒竹. 对旋转体体积的再认知[J]. 数学通报， 2005（1）.

[2]Isaac Newton. The Method of Fluxions and Infinite Series[M]. LONTON. Printed by Henry Woodfall. M.DCC.XXXVI. pxi.

[3] 注释：“求积问题”在几何中泛指所有解决有关求长度、面积和体积的问题。

[4]郜舒竹.为教师的微积分[M].首都师范大学出版社，2012.6.

[5]艾思奇. 大众哲学[M]. 中国社会出版社，2000年11月第2版.

[6]许莼舫. 轨迹[M]. 中国青年出版社， 1978年8月第1版.

（首都师范大学初等教育学院 100048）