利用构造法巧求数列通项公式

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求数列的通项公式是高中数学的重点问题，也是高考命题的热点问题，关于Aa =Ba +f（n）（A≠B且A，B都不为0）这种类型求数列｛a ｝的通项公式，是学生的一个难点。若能灵活地对递推式进行恰当变型，构造相关的新数列，可使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化。

【例1】在数列｛a ｝中，a = ，a = a + • （n∈N ，且n≥2）。求数列｛a ｝的通项公式。

解：a = a + •

3 •a = •3 a +

记b =3 •a ，则b = b +

设b +x= （b +x），整理得：b = b + x

x= ，即x=1

b +1= （b +1）

a = ，b +1=3 •a +1=3× +1=

数列｛b +1｝是以 为首项 为公比的等比数列

b +1= •=

3 •a +1=

a = - 即为所求。

【例2】已知数列｛a ｝的前n项的和为S =2a -3•2 +10，（n=1，2，3，…），求数列｛a ｝的通项公式。

解：S =2a -3•2 +10（1）

S =2a -3•2 +10（n≥2）（2）

由（1）-（2）得：S -S =2a -3•2 +10-（2a -3•2 +10）

a =2a +3•2

= +3

记b = ，则b =b +3

在（1）中令n=1得：S =2a -3•2 +10

S =a

a =2

b =1

数列｛b ｝是以1为首项3为公差的等差数列

b = =1+3（n-1），解得：a =2 （3n-2）。

【例3】已知数列｛a ｝的前n项的和S 满足：S -S =3-（n≥3），且S =1，S =- 求数列｛a ｝的通项公式。

解：当n≥2时，a =S -S

S =a +S ，代入S -S =3-，

得a +S -S =3•-

a +a =3•-

+ =3

记b = ，则- b +b =3，即b =2b -6

令b +x=2（b +x），则b =2b +x，解得：x=-6

b -6=2（b -6）

a =S =1

b -6= -6=-8

数列｛b -6｝是以-8为首项2为公比的等比数列

b -6=（-8）•2 ，即 -6=（-8）•2

解得：a =（-1） -4+3• 。

【例4】已知数列｛a ｝的前n项的和为S ，且对一切正整数n都有S =n + a ，求数列｛a ｝的通项公式。

解：S =n + a （1）

S =（n+1） + a （2）

由（2）-（1）得：S -S =（n+1） + a -n + a

a =2n+1+ a - a ，即a =-a +4n+2

a -2（n+1）=-（a -2n）

记b =a -2n，则b =-b

在（1）中令n=1得：S =1 + a ，

S =a

a =2，从而得b =0

b =0

a =2n即为所求。

上述例题中的数列｛a ｝所给的条件均可转化为Aa =Ba +f（n）（A≠B）这种类型，经过恰当变形后所构造的数列｛b +1｝，｛b ｝，｛b -6｝，｛b ｝都是我们所熟知的等差或等比数列，而且它们与a 有着直接的关系，从而使问题轻松获解。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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