炫目的等腰三角形中考新题型

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等腰三角形是一种重要的特殊三角形，近年来以等腰三角形为背景的试题，设计巧妙，形式多样，颇富新意．下面从近两年的中考数学试卷中采撷几例加以分类说明，希望能对同学们有所帮助．

一、折叠问题

例1（2007晋江）如图1，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE＝a，则下列说法正确的个数有（）

①DC′平分∠BDE；②BC长为(+2)a；③BC′D是等腰三角形；④CED的周长等于BC的长.

A． 1个B．2个 C．3个 D．4个

解析：折叠问题是中考中很常见的一类题型，它可以很好地反映我们的动手、动脑能力，所以备受命题者青睐.解答此类问题的关键是，要分析折叠前后有哪些线段相等，哪些角相等.由折叠图示可知，BE＝AB,AD＝DE,DC＝DC',CE＝C'E,∠ABD＝∠DBE=22.5 ∠DEC＝∠DEC'＝90∠CDE＝∠C'DE＝∠C＝45由于∠BDE＝∠ADB＝67.5浴DC'＝22.5①不正确，③正确；由DE＝a,∠C＝45D＝C'D＝a, CE＝C'E＝a,所以BC＝BC'+C'E+CE＝(+2)a,CED的周长＝CD+DE+CE＝ BC'+C'E+CE＝BC,故②、④均正确.因此答案选C.

二、分割问题

例2（2007无锡）如图2，已知在ABC中，∠A=90=67.5，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

解析：对图形进行分割是近年来新出现的一类题型，主要考查同学们对基础知识的掌握情况以及动手实践能力.对于此题，我们可以考虑从两个较大的角中分割出较小的角，下面提供两种分割方法供同学们参考.

三、拼接问题

例3(2006长春)如图3，在RtABC中，∠ACB ＝90C ＝4，BC ＝3.在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形 ，如图3所示.

要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长.

解析：拼成的图形是一个等腰三角形，而等腰三角形中任何两条边都有可能相等，因此留给我们的思考空间较多，我们可以从多个角度来分析，下面提供四种拼接方法供同学们参考.

四、网格型问题

例4（2006重庆）如图4所示，A，B是4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点Ｃ的位置．

解析：利用勾股定理可求得AB＝,且以A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，下面我们分两种情况讨论：①若BC＝AB,我们可以找到图中的C1;②若AC=AB，我们可以找到图中的C2，C3.答案如右图所示.

五、开放型问题

例5（2007邵阳）如图5，ABC 中，∠ACB=900 ，将ABC 沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（图②）．

（1）在图①中画出折痕所在的直线l ．设直线l 与AB ，AC分别相交于点D，E，连接CD ．（画图工具不限，不要求写画法）

（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的等腰三角形．（不要求证明）

解析：（1）易知直线l应为线段AC的垂直平分线，因此我们只需画出AC的垂直平分线即可，如右图所示；

（2）要求找出所有的等腰三角形，需要考虑全面，不能遗漏.根据线段垂直平分线的性质可知AD＝CD，因此ACD是等腰三角形，由于E为AC的中点，且DE∥BC，故D为AB的中点，所以CD＝BD，因此BCD也是等腰三角形.

六、探究型问题

例6（2007宁德）如图6，点O是等边 ABC内一点，∠AOB＝110 ∠BOC＝.将BCO绕点C按顺时针方向旋转60ADC，连接OD．

（1）求证：COD是等边三角形；

（2）当＝150保OD的形状，并说明理由；

（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形？

分析：(1)由旋转的性质可知OC＝CD，且旋转角∠OCD＝60省OD为等边三角形.

（2）在（1）的基础上，易知∠ADO＝90

（3）等腰三角形两腰具有不确定性，因此我们需要分类讨论.

解：（1）证明：CO＝CD，∠OCD＝60

COD是等边三角形．

（2）当＝150OC＝150AOD是直角三角形．

BOC≌ADC，

∠ADC＝∠BOC＝150

又COD是等边三角形，

∠ODC＝60

∠ADO＝90

故AOD是直角三角形．

（3）①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO．

∠AOD＝190, ∠ADO＝－60

190 ＝－60

＝125

②要使OA＝OD，需∠ADO＝∠OAD．

∠OAD＝180∠AOD+∠ADO)＝50

－600

＝110

③要使OD＝AD，需∠AOD＝∠OAD．

190＝50

从以上例题我们可以发现，中考中与等腰三角形有关的新型试题屡见不鲜．要想解决好这些问题，不仅需要掌握好基础知识，更需要我们具有灵活的头脑、较强的动手能力以及广阔的思维视野.希望同学们能认真理解这些问题，学习进步，更上层楼.

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