拱桥与吊桥悬链线方程比较

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摘要：在桥梁工程课程教学中，拱桥主拱圈和吊桥主缆的悬链线方程的推导是教学难点之一。在教材中，这两部分内容是在不同章节里逐一讲解，教学效果较差，而且缺乏对这两种悬链线方程的比较，学生难以理解。文章从拱桥和吊桥的受力特点出发，对这两种悬链线方程进行了推导和剖析，通过比较分析帮助学生深刻理解其内容，提高学生运用力学知识解决桥梁工程的实际问题，增强学习兴趣。

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关键词：拱桥；吊桥；悬链线方程；桥梁工程

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中图分类号：TU2797+2；G6420 文献标志码：A 文章编号：1005-2909(2012)04-0059-03

在桥梁工程教学中，拱桥部分在拱桥计算章节里讲述，分析拱桥主拱圈在恒载作用下的3种不同的合理拱轴线，即圆弧线、抛物线和悬链线。桥梁工程拱桥部分对主拱圈合理拱轴线选用悬链线方程进行了详细推导，其推导过程是学习的难点。同样，在悬索桥教学中，悬索桥主缆线型方程在空缆时也为悬链线方程，其推导过程也是学习的难点。教学中由于课堂时间的限制，授课的时间不同，且由不同教师讲授，没有剖析这两种方程的不同点。对这两种方程推导过程进一步剖析，帮助学生理解，从辨别、分析中学习，提高学生独立思考的能力。

一、拱桥主拱圈悬链线方程的推导

基本假设：自重作用下主拱圈任意截面弯矩为零，只承受轴向压力；拱上填料及主拱圈材料均匀一致；自重恒载沿水平方向呈线性连续分布［1-2］。

以上假定可以在图1坐标系下，得出如下结论。

式中： ∑Mj为半拱恒载对拱脚截面的力矩；Hg为拱的恒载水平推力（不考虑弹性压缩）；f为拱的计算矢高； Mx为任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值； y1为以拱顶截面为坐标原点，拱轴线上任意点的竖向坐标。

由假定（3）有：

gx=gd+γy1(3)

式中：gx为x截面处恒载集度； gd为拱顶处恒载集度； γ为拱上材料容重（为一常数）。

当y1=f时：

gj=gd+γf(4)

式中：gj为拱脚截面恒载集度。

高等建筑教育

2012年第21卷第4期 

包立新，等 拱桥与吊桥悬链线方程比较

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令m=gjgd则

γ=gj－gdf=gdf(m－1)(5)

式中：m为拱轴系数。

对（2）式进行两次求导得：

d2y1dx2=1Hgd2Mxdx=gxHg(6)

令x=l1ε，并将（3）代入（6)得：

d2y1dε2=l21gdHg［1+(m－1)y1f］(7)

令k2=l21gdHgf(m－1)，则（6）式的解为：

y1=f(m－1)(chkε－1)(8)

式（8）即为图1坐标下合理拱轴线一般方程，当x=l1、ε=1、y1=f有：

chk=m，即k=ch－1m=ln(m+m2－1)

实际上设计中总是先确定一个m值，再根据方程（8）确定拱轴线坐标，再由式（1）-（4）求解在拱圈任意截面的内力。

从以上推导过程看：若要获得一个有合理拱轴线的拱，只要把拱桥设计成一个实腹式的悬链线拱即可。然而事实上不可能做到这一点，这是为什么呢？因为拱轴线方程的建立与推导均是基于以上的3个假定，其中假定（2）要保持拱上填料与主拱圈材料均匀一致，一般来说拱上填料的容重较拱圈材料的容重轻；另外，假定（3）要求保证所有恒载自重沿水平方向呈线性分布，实际工程中只有在跨径小于20 m的小跨拱桥中才做成实腹式的，有可能实现这一假定，对于大跨拱桥（跨径大于20 m）做成空腹式更经济［3］。实际工程设计中一般不满足假定的（2）、（3）两个条件，无法获得一条理想的合理拱轴线（只受压，不受弯）。但是事实上拱桥的主拱圈是可以承担一定的弯矩的，我们不必找到一条只受压的拱轴线，设计出的桥梁才更经济、适用,只要拱圈材料强度满足规范要求即可。拱上填料与拱圈材料有所不同，即使跨径小于20 m的拱桥可以用同一种材料形成，也很难保证恒载集度呈线性变化。对一些更小跨径的拱桥或涵洞来说，采用圆弧拱而没有采用悬链线拱是为了更方便施工，受力上也完全满足要求。

工程应用中，安全与经济因素应并重，这就迫使大跨度拱桥采用空腹式，只有小跨径拱桥或涵洞才采用实腹式，拱轴线也没有刻意追求合理拱轴线。

在吊桥的教学中还会遇上另外一种形式的悬链线，即主缆自重作用下的悬链线方程。

二、悬索桥主缆悬链线方程的推导

基本假设：索是柔性的，忽略其自身的抗弯刚度；索在弹性范围内工作，满足虎克定律；忽略加劲梁自身的抗弯刚度［4-5］。

根据以上假定，在图2的坐标系下，如果忽略索的伸长对索自重集度的影响，则索的悬链线方程推导如下。

由力的平衡条件可得：

∑x=0 H1=H2=H(9)

∑y=0 dv=v2－v1=－q?ds，

即dvdx=－dsdx?q(10)

由几何条件可得：

v1=H?dsdx，ds=dy2+dx2(11)

将(11)代入(10)得:

H?d2ydx2+q?1+dydx2=0(12)

两次积分,并引入边界条件:x=0时,y=0;x=l时,y=c得

y=Hqchα－ch2β?xl－α(13)