桥梁中的高等结构数值方法及应用

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摘要：本文首先归纳了结构分析中力学问题的解法，着重讨论了有限差分法、加权残值法、有限元法、边界元法和无网格法几种结构数值分析方法，其次对有限元法的最新进展进行了重点探讨，最后介绍了结合空间有限元在桥梁中的应用。

关键词： 结构数值分析；有限元法；桥梁工程

中图分类号： TU997 文献标识码： A 文章编号：

1 前言

对于大多数的工程技术问题，由于物体的几何形状较复杂或者问题的某些非线性特征，很少能得到解析解。因此，在人们广泛吸收现代数学、力学理论的基础上，借助于现代科学技术，提出了第二种途径，用计算机来得到满足工程要求的数值解，即数值模拟技术 [1]。

2结构分析方法

计算方法是用微分方程的数值解法对工程结构进行分析计算的方法。在结构分析中力学问题的解法主要有三类，即解析法、半解析法和数值解法[2]。

2.1解析法

根据力学原理，建立微分方程，求解边值问题，得到问题的解析解。

弹性力学平面问题的求解：2个平衡方程、3个几何方程、3个物理方程在具体的边界条件（位移、荷载）下偏微分方程组的数学求解过程。

2.2半解析法

在数值分析方法中采用与引入部分解析解或解析函数，得到问题的近似解。

将解析与数值方法相结合的方法称为半解析法。它既克服了纯解析的理论分析在数学上的困难及应用的局限性，又大大降低了基于全离散原理的纯数值方法的计算工作量。

2.3数值分析方法

在结构分析中使用的数值方法很多，其中以有限元法使用最广，此外，还有差分法、变分法、加权余量法及边界元法等。这些方法都是将求解微分方程的问题化为求解代数方程的问题，进而求出未知函数（结构的位移、内力、应力等）的数值解，在桥梁结构数值分析中发挥了重要的作用。

（1）有限差分法

有限差分法(Finite Difference Method)的基本思想是将求解区域划分为网络，然后在网格的结点上用差分方程近似代替微分方程，直接求解得出基本方程和相应的定解条件的近似解 [1]。

（2）加权残值法

加权残值法[3]（Weighted Residuals Method）是将微分方程化为加权积分形式，求近似解。加权残数法具有原理统一、方法简便、灵活多样、工作量小、程序设计简短、计算速度快、计算精度高等优点。

（3）有限元法

有限元法(Finite Element Method)是计算力学的重要分支，是一种将连续体离散化以求解各种力学问题的数值方法。1960年，Clough R W首先使用了“有限元”这一名称[2]。这种方法将微分方程问题化为能量极值问题，并采用分片插值，求近似解。

（4）边界元法

边界元法化微分方程为边界积分方程，使用类似于有限元法的离散技术来离散边界。离散化所引起的误差仅来源于边界，因之提高了计算精度。依靠边界节点上算得的量，即可计算区域内的有关物理量，从而减少了准备工作量及计算量。

（5）无网格法

无网格法[4]从本质上说都是基于变分原理或加权残值法，由于它采用的形函数以移动最小二乘的方式来拟合真实解，因此比有限元方法具有更高的精确度，其解的收敛性往往取决于权函数的构造形式。

3 有限元分析方法

有限元法是分析综合法的一种应用，先将结构分解为单元，再将单元合成结构，在一分一合中求得结构问题的解。由刚架计算的矩阵位移法演变而来，由刚架分析移植到弹性力学，矩阵位移法就变成了有限元法。能量变分法是有限元法的基础[2]。

3.1有限元法的步骤

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的， 只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为：

（1）结构的离散化；

（2）选择位移模式；

（3）分析单元的力学特性；

（4）建立整个结构的平衡方程；

（5）求解未知结点位移；

（6）计算单元应力及所需要的结果利用已求出的结点位移，计算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。

3.2桥梁结构有限元法

有限元法是一种结构分析的通用方法，有限元法将连续体分成有限个单元，互相由结点连结的理想的结点体系。先进行单元分析，用结点位移表示单元内力，然后将单元再结合成结构，进行整体分析，建立整体平衡方程，由此得出结点位移，进一步可求得荷载效应。

3.2.1简化模型的选择

仅计算恒、活载作用下总体结构内力，可选用平面杆系模式。计算空间荷载(风载、地震荷载、局部温差等)作用下的静力响应，一般选用空间杆系模式。 计算全桥构件的应力分布特性，可选用空间板壳、块体和梁单元的组合模式。研究结构殊部件的应力集中现象，可进行局部应力有限元分析。选取力学模式要力求简单、合理，并能抓住主要矛盾。

3.2.2结构离散原则

对于杆系结构，节点和单元的划分应遵循以下原则：

(1) 结构的定位点应设置节点；

(2) 按照施工过程，分阶段施工的结构自然分块点应该设置节点；

(3) 截面突变处应设置节点；

(4) 对较长的自然分块，应该适当细分；

(5) 斜拉索、主缆、吊杆、预应力索端点截面一般应设置节点；

(6) 控制截面内力、位移所在位置处应设置节点；

(7) 永久支承和临时支承部位应设置节点。

3.2.3材料截面和特性模拟

材料特性模拟包括：弹性模量、泊松比、材料容重、温度线膨胀系数和材料本构关系（非线性分析）。

截面特性分为梁单元、板壳单元和实体单元的模拟：

梁单元中定义的截面特性包括：面积、抗弯惯性矩、抗扭惯性矩、截面抵抗矩、剪切面积、截面形心、截面形心距上下缘（左右腹板）距离、剪切中心和扭转中心。板壳单元只需定义单元厚度，而实体单元则不需要定义。

 非线性分析中如果使用实体单元，一般采用试验验证的材料本构关系。而对梁-柱单元，就必须首先通过试验或详尽的理论分析来得到构件性能，才能用简化的非弹性模型模拟预期的构件行为。

3.2.4边界条件模拟

边界条件分为力的边界条件和位移边界条件。对于从整体结构中取出的局部模型，其力的边界条件是指截开断面处的内力或应力。而且要考虑结构其余部分的影响。对于杆系单元模型，内力是以集中力的形式作用的，而对于采用块体或板壳单元的空间模型，应将内力转化为等效均布力作用在截面上。

3.2.5荷载模拟

各种恒载、使用荷载可由一系列施加在结构模型上的静力荷载工况来模拟。施工荷载可用相当的集中力或分布荷载来模拟。汽车荷载要先计算影响线，找出最不利加载位置，然后按规定的车距和轴距加适当的集中力或等效分布荷载。静风荷载是一般计算时可根据桥梁抗风设计规范简化成等效静分布荷载施加于结构进行计算。船撞和流冰荷载按静力考虑时也是用相应的等代荷载来计算。

4结语

结构分析中力学问题的解法主要有三类，即解析法、半解析法和数值解法，对于相对简单、受力明确、边界条件单一的结构可采用解析法求解或半解析法求解。随着有限单元法的推广应用，对于桥梁这种大型复杂结构，就需要应用有限元法及相应的软件进行分析计算。

参考文献：

[1] G.R. 布查南. 有限元分析[M]. 北京： 科学出版社，2002

[2] 龙驭球，龙志飞，岑松. 新型有限元论[M]. 北京：清华大学出版社，2004

[3] 樊素英，李忠献. 桥梁结构物理参数识别的双单元子结构法[J]. 工程力学,2007,(6)

[4] 傅永华. 有限元分析基础[M]. 武汉：武汉大学出版社，2003

[5] 刘更，刘天祥，谢琴. 无网格法及其应用[M]. 西安：西北大学出版社，2005