辅助函数模型,解析一类抽象函数的性质
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抽象函数问题是高中数学函数部分的一个难点，由于这类问题的抽象性及其性质的隐蔽性，大多数学生在解决此类问题时往往感到束手无策。以函数方程作为约束条件，是近年高考试题中考察抽象函数的常见形式之一。本文借助函数模型，就这类抽象函数的性质作些解析与归纳，以期对学生的学习有所帮助。
类型一：f（x+y）=f（x）+f（y）
性质1：设函数f（x）是定义在上的函数，满足f（x+y）=f（x）+f（y），则有：①f（0）=0;②f（x）在R上是奇函数；③若x≠0时f（x）≠0，则f（x）在R上是单调函数。
解析：对于初学者来说，理解形如“f（x+y）=f（x）+f（y）”的条件（这种条件我们一般称之为函数方程）确有困难，此时通过辅助熟悉的函数模型，可以加深对该类问题的理解。
①令x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0），f（0）=0。
②令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0。又x∈R，f（x）在R上是奇函数。
③任取x ，x ∈R，且x ＜x ，x =x -x +x ，f（x ）=f［（x -x ）+x ］=f（x -x ）+f（x ），f（x ）-f（x ）=f（x -x ）≠0。当f（x -x ）＞0时，f（x）在R上是增函数；当f（x -x ）＜0时，f（x）在R上是减函数，所以f（x）在R上是单调函数。
类型二：f（x+y）=f（x）f（y）
辅助函数模型：f（x）=a （a＞0且a≠1）
性质2：设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+y）=f（x）f（y）
且f（0）≠0，当x＞0时恒有f（x）＞1或f（x）＜1，则有：①f（x）＞0且f（0）=1；②f（-x）f（x）=1；③f（x-y）= ；④f（x）在R上是单调函数。
解析：
①令x=y=0，则f（0+0）=f（0）f（0），即f（0）=［f（0）］ ，f（0）=0或f（0）=1。若f（0）=0，则对任意的x∈R时有f（x+0）=f（x）f（0），即f（x）=0，这与条件f（0）≠0矛盾，f（0）=1。又令x=y= ，则f（ + ）=f（ ）f（ ），即f（x′）=［f（ ）］ ≥0，f（ ）≠0，f（x′）＞0即f（x）＞0。
②令y=-x，则f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1。
③令y=-y′，则f（x-y′）=f（x）f（-y′），由②知f（-y′）= ，f（x-y′）= ，即f（x-y）= 。
④任取x ，x ∈R，且x ＜x ，x =x -x +x ，f（x ）=f［（x -x ）+x ］=f（x -x ）f（x ）， =f（x -x ）。当f（x -x ）＞1时，f（x）在R上是增函数；当f（x -x ）＜1时，f（x）在R上是减函数，所以f（x）在R上是单调函数。
类型三：f（xy）=f（x）+f（y）
辅助函数模型：f（x）=log x（a＞0，a≠1）
性质3：设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，满足f（xy）=f（x）+f（y），当x＞1时恒有f（x）＞0或f（x）＜0，则有：①f（1）=0；②f（ ）=-f（x）；③ =f（x）-f（y）；④f（x）在（0，+∞）上是单调函数。
解析：略（读者可仿前例证明）。
类型四：f（xy）=f（x）f（y）
辅助函数模型：f（x）=x （x＞0，n∈Q）
性质4：设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，满足f（xy）=f（x）f（y）且f（x）≠0，当x＞1时恒有f（x）＞1或f（x）＜1，则有：①f（1）=1；②当x＞0时，f（x）＞0；③f（x）在（0，+∞）上是单调函数。
解析：略（读者可仿前例证明）。
类型五：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）
辅助函数模型：f（x）=cosx
性质5：设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）≠0，则有：①f（0）=1；②f（x）在R上是偶函数；③若f（ ）=0，则f（x）在R上是以2π为周期的周期函数。
解析：
①证略。
②令x=0，则f（y）+f（-y）=2f（0）f（y），由①知f（0）=1，f（y）+f（-y）=2f（y），即f（-y）=f（y），所以f（x）在R上是偶函数。
③令y= ，则f（x+ ）+f（x- ）=2f（x）f（ ）=0，f（x）在R上是偶函数，f（x+ ）=-f（x- ）=-f（ -x）。又f（x+π）=f［（x+ ）+ ］=-f［ -（x+ ）］=-f（-x）=-f（x），f（x+2π）=f［（x+π）+π］=-f（x+π）=f（x），f（x）在R上是以2π为周期的周期函数。
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