坐标解构“韩信分油”

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韩信解难题

同学们都听过一句歇后语：韩信点兵――多多益善!关于韩信，都知道他是我国汉初著名的军事家，韩信从小勤奋好学，不光在军事上非常出名，在数学界，我们还知道他另外的故事，那就是――韩信立马分油，故事大概是这样的：

有一天，韩信外出访友，经过一个闹市，看见那里熙熙攘攘，非常热闹，他走进一看，看到一个油摊前的卖油老翁与一个买油的老者正在争执，韩信一打听才知道原来买油的老者要买5斤油，而卖油的老翁说5斤油不卖，你要么买3斤油要么买7斤油。

韩信觉得这个老翁的要求很奇怪，打听才知道原来老翁卖油的油篓里有10斤油，而他只有能装3斤油的葫芦和能装7斤油的瓢。

知道了具体情况以后，韩信上前对两位老者说：“你们俩谁都不要再争执了，我有办法保证你们都满意。”

结果肯定是韩信帮忙解决了这个分油问题，现在请同学们想想韩信是怎么分的油呢?

这儿给出答案，其实也不难，先用葫芦连装满三次油倒入瓢中，当瓢油满后，葫芦中剩下2斤，将瓢中的油(7斤)全部倒回油篓中，再将葫芦中剩下的2斤油倒在瓢中，最后用葫芦从油篓中灌满3斤油倒给瓢，这时候瓢中恰好有5斤油。

这就是“韩信立马分油”的经典流传。

坐标来分析

现在，我们将韩信分油的过程用表格列出(如表1)。

然后，画出一个平面直角坐标系，将上述倒油时，每次葫芦、瓢、篓中油的斤数用点表示出来，从表1可知，在倒油的过程中，隐蔽着一个条件：必须有一个装满或空着，因此，表示油的斤数的点都在长方形(7×3)的边缘上，现在把相邻两个序数的点用线连结起来，标上箭头(如图1)，这条折线就是表示分油的顺序、次数及斤数。

这样就得到了一个倒油的方案，从倒油的方案中得出如下三点：

1.竖直方向的线表示葫芦与篓的油互倒，如点8与点9，表示将篓中的3斤油倒入葫芦中。

2.水平方向的线表示瓢与篓的油互倒，如点6与点7，表示将瓢中的7斤油倒入篓中。

3.倾斜方向的线表示瓢与葫芦的油互倒，如点3与点4，表示将葫芦中的3斤油倒入瓢中。

这样，就可以得到“分油问题”的倒油方案了，下面具体说明画图过程所示的分油方法。

1.以每一小方格的边长表示1斤油，竖直方向的轴表示葫芦所装的油，水平方向的轴表示瓢所装的油，根据葫芦、瓢所装油的斤数，画出7×3格。

2.定出起点与终点，因为葫芦、瓢均是空，所以起点应在两轴的交点，即点0，根据题目要求，把10斤油分成两个5斤，所以终点应是水平轴的点(0，5)。

3.斜线走向，斜线走向只能在正方形框内从左上到右下或相反：不能从左下到右上或相反，因为那样就出现葫芦、瓢同时增加油(倒入)或减少油(倒出)的情况。

4.根据上述的方法，从起点一直画到终点为止，就得到了倒油的顺序、次数及数量，

我们把这样倒油的方法叫做平面直角坐标系法。

你也可以试试

1.篓装油12斤，另有葫芦、瓢两个空容器，各能装7斤和5斤，现将12斤油分成两个6斤，该如何分?

2.篓最多可装30斤油，葫芦最多可装13斤油，瓢最多可装5斤油，现在篓装有18斤油，葫芦中已装7斤油，瓢已装5斤油，要使葫芦中装13斤油，瓢装2斤油，该如何倒?

参考答案：如图2、图3。