运用模型法解排列、组合应用题

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由于排列组合内容的抽象性、思维的独特性、解题方法的灵活性而成为中学数学教学中的一个难点.当排列、组合应用题直接求解比较困难时，若能认真阅读理解题意，抽象出其中的数量关系，联想其他数学知识,通过构建数学模型来求解，则简捷、巧妙，同时也能培养同学们的探索能力和创新能力．下面举例说明．

一、构建隔板模型

例1 把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，问有多少种不同的装法．

解法1：运用隔板法必须同时具备以下三个条件：

(1)所有元素必须相同．(2)所有元素必须分完．(3)每组至少有一个元素．

此例有限制条件，不能直接运用隔板法．但可转化为隔板问题．向1，2，3号三个盒子中分别装入0，1，2个球后还剩下17个球，然后再把这17个小球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有C216=120种不同的分法．

解法2：此例可转化为不同的两类元素，即小球和隔板的排列问题，向1，2，3号三个盒子中分别装入1，2，3个球后还剩下14个球，然后再将这14个球装入１，２，３号三个盒子中的某几个（不再要求每个盒子必须有球），故可从这14个球和2个隔板所占的16个位置中选出2个位置放隔板，剩下的位置放小球即可．故共有C216=120种不同的分法．

点评：根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比是构建隔板模型的关键．

二、构建邮筒模型

例2 若集合

A1,A2

满足A1∪A2=A，则称

(A1,A2)为集合A的一个分析；并规定：当且仅当

A1=A2时，(A1,A2)与

(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合

A={a1,a2,a3}的不同分拆种数为 ．

图1

解析：建立数学模型，如图1，设集合

(θAA2)为邮筒①，设集合

A1∩A2

为邮筒②，设集合

(θAA1)

为邮筒③，设

a1,a2,a3三个元素为三封信，则问题转化为我们非常熟悉的“把三封信投入到三个邮筒共有多少种投递方法”的问题．可分三步进行求解：第一步投a1，共有C13种投法；第二步投a2，共有C13种投法；第三步投a3，共有C13种投法．根据分步乘法计数原理共有C13•

C13•C13=27种投法，即集合

A={a1,a2,a3}的不同分拆种数为27．

点评：本题属集合类信息迁移题，若直接分类求解则较繁．这里通过构建邮筒模型转化求解，则思路清晰、图文并茂、运算简炼、颇为有趣．

三、构建方程模型

例3 上一个有10级的台阶，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？

解析：设x表示上一级台阶的步数，y表示上两级台阶的步数，

则x+2y=10 (x≥0,y≥0,y∈

Z).

当x=2,y=4时，6步走完10级台阶的方法为C26种；

当x=0,4,6,8,10对应的y的取值分别为5，3，2，1，0相对应的上台阶的方法为C05,C47,C68,

C89和

C1010．

故总有上台阶的方法为

C05+C26+C47

+C68+C89

+C1010

=89

种．

点评：构建方程模型的关键是：找到等量关系，正确列出方程．

四、构建不等式模型

例4 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）

（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种

解析：设买单片软件x件，盒装磁盘y盒，则命题转化为不等式组：

60x+70y≤500,

x≥3,

y≥2,

(x,y∈

N

)的解的个数．

不难求得(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2)为其解，

所以不同的选购方式共有7种．

点评：根据题意分析不等关系，通过设元正确列出不等式组是解题的关键．

五、构建数列模型

例5 跳格游戏：人从格外只能进入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8格的方法种数为（ ）

（A）21 （B）26 （C）17 （D）13

解析：设跳到第n格的方法种数为an，则到达第n格的方法有两类：①向前跳1格到达第n格，方法数为

an-1；②向前跳2格到达第n格，方法数为

an-2，则由分类加法计数原理知：

an=an-1+an-2

，由数列的递推关系得该数列的前8项为１，1，2，3，5，8，13，21．所以人从格外跳到第8格的方法种数为21种．

点评：本题通过数列模型，考查了根据逻辑推理进行分类讨论的能力．

六、构建立体几何模型

例6 如图2(2)，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有（ ）

解析：如图2(1)，构造三棱锥A-BCD，四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法为C36种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法为C36-4=16种．

点评：本题根据问题特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰、简洁明快．

山东省枣庄市第二中学（277400）