常考常新的不等式问题
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一、 简单的线性规划
【例1】 设m,k为整数，方程mx2－kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m+k的最小值为 ．
分析 本题首先要从题目得到方程mx2－kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根的充要条件即约束条件，然后转化为线性规划问题求解。
解 设f(x)=mx2－kx+2，由f(0)=2，知f(x)的图象恒过定点(0,2)．
因此要使已知方程在区间(0,1)内有两个不同的根，即f(x)的图象在区间(0,1)内有两个不同的交点，必有m>0,f(1)=m－k+2>0,00,k>0,m－k+2>0,2m－k>0,k2－8m>0.
在直角坐标系mOk中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k－z=0经过图中的阴影中的整点(6,7)时，z=m+k取得最小值，即zmin=13．
点拨 线性规划问题虽然在高考中的要求比较低，但是在高考中仍然作为一个热点考查，题目变化比较多，在平时的复习中要引起重视，此题新在表面上并没有说明一定要用线性规划去解决，而是通过转化，变成线性规划问题去解决，这种类型的问题在2011年高考的解答题中曾有所涉及。
二、 基本不等式
【例2】 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 ．
分析 处理双变量的问题我们可以考虑线性规划或基本不等式等方法。
解 4x2+y2+xy=1，
(2x+y)2－3xy=1，即(2x+y)2－32•2xy=1，
(2x+y)2－32•2x+y22≤1，
解之得(2x+y)2≤85，即2x+y≤2105.
【例3】 若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是 ．
分析 此题首先建立关于参数c的目标函数，再进行求解。
解 2a+b=2a+2b≥22a+b，
当且仅当a=b时，2a+b≥4取“＝”．
由2a+2b+2c=2a+b+c得2a+b+2c=2a+b•2c，
2c=2a+b2a+b－1=1+12a+b－1≤1+14－1=43，
故c≤log243=2－log23．
点拨 利用基本不等式解题一定要注意“一正、二定、三相等”，并要注意构造符合基本式的条件以及形式。
三、 不等式的证明
【例4】 设b>0，数列{an}满足a1=b,an=nban－1an－1+n－1(n≥2)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 证明：对于一切正整数n,2an≤bn+1+1．
分析 本题第1问为已知递推公式求通项公式，注意分类讨论；第2问是不等式的证明，要构造符合基本式的形式，利用基本不等式证明。
解 (1) 由a1=b>0，知an=nban－1an－1+n－1>0，
nan=1b+1b•n－1an－1.
令An=nan,A1=1b，
当n≥2时，An=1b+1bAn－1
＝1b＋…＋1bn-1＋1bn-1A1
＝1b＋…＋1bn-1＋1bn.
①当b≠1时，An＝1b1-1bn1-1b＝bn-1bn(b-1);
②当b＝1时，An＝n.
An＝nbn(b-1)bn-1,b≠1，1，b=1.
(2) 当b≠1时，欲证2an＝2nbn(b-1)bn-1≤bn＋1＋1，只需证2nbn≤(bn＋1＋1)bn-1b-1.
(bn＋1＋1)bn-1b-1＝b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1＋bn－1＋bn－2＋…＋1
＝bnbn+1bn+bn-1+1bn-1+…+b+1b
>bn(2＋2＋…＋2)
＝2nbn，
2an＝2nbn(b-1)bn-1
当b＝1时，2an＝2＝bn＋1＋1.
综上所述,2an≤bn＋1＋1.
点拨 不等式的证明，要抓住题目本身的特点，构造出符合基本不等式的条件及形式，利用基本不等式进行证明，注意基本不等式成立的条件。
牛刀小试
1. 已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈［1,2］且y∈［2，3］，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
2. 证明以下两个不等式：
(1) 设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.
(2) 1
【参考答案】
1. a≥-1
2. (1)由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy
xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
［y＋x＋(xy)2］－［xy(x＋y)＋1］
＝［(xy)2－1］－［xy(x＋y)－(x＋y)］
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
(2) 设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝1xy，logba＝1x，logcb＝1y，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
故由(1)式知所要证明的不等式成立．
（作者：陆佩娟，江苏省海门市麒麟中学）