一道压轴题 四种解与析

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2013年高考全国新课标卷I理科综合测试第25题（物理必考部分的压轴题）是一道电容器与电磁感应相结合的综合性问题. 此题涉及到的物理知识内容是电容器的充电电流、导体棒在匀强磁场中做垂直切割磁感线运动产的感应电动势、安培力做功与能的转化、牛顿运动定律与直线运动等问题. 考查了从力、动量与能量的观点分析处理物理问题的三大思路和微元法、推理法、类比法等基本思维方法. 此题的能力立意很高，为高校对人才的选拔起到了很好的作用.

题目 （2013年高考全国新课标卷I理综第25题）如图1，两条平行导轨所在平面与水平面的夹角为[θ]，间距为[L]. 导轨上端接有一平行板电容器，电容为[C]. 导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为[B]，方向垂直于导轨平面. 在导轨上放置一质量为[m]的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触. 已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为[μ]，重力加速度大小为[g]. 忽略所有电阻. 让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系.

分析 金属棒由静止开始沿导轨下滑，棒的运动是一种变速直线运动. 棒在下滑的过程中切割磁感线运动，棒产生感应电动势，其大小随棒运动速度大小的变化而变化. 不计电路中所有的电阻，则电容器两端的电压，电容器极板上积累的电荷量随的增大而增加，可见棒在沿导轨下滑的过程中电路存在电容器的充电电流，方向如图2所示. 棒在导轨平面内受力如图2：重力在导轨平面内沿斜面向下的分力，沿斜面向上的动摩擦力，沿斜面向上的安培力大小为. 棒做一种变速直线运动，运动过程中棒的动量、系统的能量会发生改变. 本题的第（1）问在以上的分析中得已得到了解析，以下对本题的第（2）问作出几种分析与解.

解法1 棒沿导轨的下滑是一种变速运动，其速度的大小随时间如何变化是问题求解的关键. 我们可将棒在时间内的运动过程分成很多微小（过程）单元，每个微小单元（微元）的时间很短，可认为在时间内棒的速度是均匀变化的，即棒做匀加速运动，其速度的变化量为，则棒的加速度大小为；电容器带电量改变量为，回路中电流，对棒，由牛顿运动定律，有

由以上几式，可得棒在很短的[Δt]时间内加速度的大小

这是一个与时间无关的量. 由此可见在每一个微小（过程）单元内棒的加速度是相同的，故棒在整个下滑运动过程中做初速为零的匀加速直线运动，[t]时刻棒的速度大小

评析1 解法1用到的方法是微元法，它将研究对象（实体或过程）分为很多微小单元，对其中某个微小单元进行研究，然后由局部推知整体的科学思维方法，这是物理学研究中的一种最本的方法.

评析2 解法1与解法2是基于力的观点，用牛顿运动定律进行分析与求解. 解法2用到的方法是牛顿运动定律的微积分形式，用微积分这种数学工具来分析处理变量问题是一种常见的方法. 当前导数与微积分已经引入到高中数学的教学中，这为求解复杂情况下物体的运动带来了方便与可能，也为中学生进入高校进一步深造打下了基础.

解法3 力的冲量大小等于力的大小与力作用时间的乘积. 在有些电磁感应现象中，安培力的冲量大小可以通过一段时间内流过电路中的电量[Q]来表达，从而为利用动量定理来分析研究这类电磁感应问题带来方便.

评析3 解法3是从动量的角度来分析处理问题的，其中用某段时间内通过电路中的电量来巧妙地表达了棒在该时间内受到的安培力的冲量大小，从而为利用动量定理来进行分析求解，给人一种清新的感觉，是一种巧妙和实用的解法.

评析4 解法4是从能量的转化与守恒的角度来分析处理问题的，但要知道或导出电容器贮存电能的表达式，从而利用能量守恒来进行分析处理，并将得出的结果与匀变速直线运动规律进行类比，从其相似性得出遵守的共同的规律，给人一种高屋建瓴之感，是一种具有一定内涵的解法.

顺便指出一点，本题可能由这样一道全国物理竞赛题改编得来的：如图4，长为[L]、质量为[m]的金属棒与两竖直导轨垂直且接触良好，导轨上接有电容为[C]的电容器，磁感应强度为[B]的匀强磁场与导轨平面垂直，棒由地面上方高[h]处静止释放，求棒落地的时间[t].

此题的求解也有以上的几种解法，但用微元法的解法1还是一种最基本的且同学们最容易接受的解法. 可见高考备考复习中还是要落实基础知识，掌握最基本的解法，而不要盲目地训练一些竞赛类的试题，不要盲目地追求巧解.