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【摘要】虚设是数学解题中的一种很有用的手段,采用虚设策略,往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算,从而达到准确、快速、简捷的解题效果。
【关键字】整体换元,变换图形,参数引入,坐标巧设
一、虚设法之整体换元
在解决某些涉及若干个量的求值问题时,要有目标意识,通过虚设的策略,整体转化的思想,绕开复杂的运算过程,可使问题迅速得到解决。
例1. 已知等比数列 中, ,求 。
解:设公比为q,由于 ,故
于是
÷得 ,则
所以
二、虚设法之变换图形
有些代数问题,通过挖掘题目中隐含的几何背景,设而不求,可转化成几何问题求解。
例2. 设a、b均为正数,且 ,求证 。
证明:设 ,
则u、v同时满足
其中 表示直线,m为此直线在v轴上的截距
是以原点为圆心,2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧(如图1),显然直线与圆弧相切时,所对应的截距m的值最大。
图1
由图易得 即
三、虚设法之参数引入
恰当合理地引入参数,可使解题目标更加明确,已知和欲求之间的联系得以明朗化,使问题能够得到解决。
例3. 已知对任何满足 的实数x、y,如果 恒成立,求实数k的取值范围。
解:设 ( ),则
令 ,得
四、虚设法之坐标巧设
在解析几何问题中,对于有关点的坐标采用设而不求的策略,能促使问题定向,简便化归,起到以简驭繁的解题效果。
例4. 设抛物线 的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,求证:直线AC经过原点O。
证明:设点A( , )、B( , ),则点C( , )因为AB过焦点F
所以 得 又直线OC的斜率
直线OA的斜率 ,则
故A、O、C三点共线,即直线AC经过原点O。
图2
五、虚设法之性质活用
解题过程中,不断变换观察角度,类比方法、联想内容,明确最终目标,经过巧妙构造,活用性质,可直达目标。
例5. 求证
证明:设
则
由 可知:数列 为单调递增数列。
又
则
即
六、虚设法之中介过渡
根据解题需要,可引入一个中间量作为中介,起到过渡作用,使问题得以解决。
例6. 如图3,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线,OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥体积分成相等的两部分,求圆锥母线与轴的夹角α。
图3
解:过点A作SO的垂线,垂足为M,可知∠MAO=∠AOB=∠OSB=α
设MA=x,OB=r,SO=h则有 化简可得
又因为 即 所以
于是 ,从而
七、虚设法之恒等变形
某些看似十分复杂的运算,经过巧妙转换,恒等变形,使运算对象发生转移,起到意想不到的效果。
例7. 求 的值。
解:设
则
而 ,故
参考资料
【1】 《中学数学教学论》
【2】 《学海导航》高考复习资料
【3】 《中学数学竞赛习题集》
【4】 《高中数学教学参考》