高中几种常见交流电有效值的推导及结论

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在2008年高考山东卷上出现了这样的一条高考题目：图1、图2分别表示两种电压的波形.其中图1所示电压按正弦规律变化.下列说法正确的是

A.图1表示交流电，图2表示直流电

B.两种电压的有效值相等

C.图1所示电压的瞬时值表达式为u=311sin100πt V

D.图1所示电压经匝数比为10∶1的变压器变压后.频率变为原来的110

学生根据学过的知识较容易是可以选出正确答案是C.这条高考也就经常出现在了高考复习资料中了，有些学生练习后提出了这样的问题：图2中的交流电是一种什么波形交流电？其有效值等不等于Um2？如果不等，则如何求解？下面将高中几种较常出现的交流电有效值推导出来，供大家参考和批评.

1三角波式交流电

图2中所示的交流电是三角波式交流电，是一种非正弦式交流电，主要用在CRT作显示器件（如示波器、显像管、显示器等）的扫描电路中.

很多学生根据匀变速直线运动中的平均速度求法，想当然地认为其有效值等于Um2.对不对呢？

根据有效值的定义：“让交流与恒定直流通过相同的电阻，如果它们在一个周期内产生的热量相等，而这个恒定电流是I、电压是U，我们就把I、U叫做这个交流的有效值.”因此在计算非正弦式交流电的有效值时，要根据电流热效应来求，也就是上述的定义，简称为“三同”（同电阻R、同周期T、同热量Q）.

三角波式交流的有效值就用上述方法来求.为了简化，按图3所示波形处理.由图3可知，在0～T4内，u=4UmTt，在纯电阻R上的所产生热量

从上面的分析可知，三角波式交流电的有效值显然不等于Um2，需要指出的是Um2等于其平均值，在计算通过电路的电量时可以用到.

2正弦式交流电

高中物理课本中，给出的正弦式交流电的有效值公式是U=Um2，未给出其推导过程.现从最简单的情况入手，过程推导如下：

如图4所示的正弦式交流电u=Umsinωt，在0～T4内，通过纯电阻R所产生的热量Q1，则

一个电压为U的恒定直流在一个周期T内在纯电阻R上产生的热量Q直=U2TR.若Q直=Q交，则有U=Um2，即正弦式交流电的有效值U=Um2.

3矩形脉冲电流

矩形脉冲电流如图5所示，也叫方波电流.方波是一种非正弦曲线的波形，通常会于电子和讯号处理时出现.以理想的矩形脉冲电流研究，其有效值推导过程较简单，如下：

在一个周期T内，矩形脉冲电流在纯电阻R上产生的热量Q交=U21R・T2+U22R・T2.

一个电压为U的恒定直流在一个周期T内在纯电阻R上产生的热量Q直=U2TR.若Q直=Q交，则有U=U21+U222，即矩形脉冲电流的有效值U=U21+U222.若U1=U2=Um，则矩形脉冲电流的有效值U=Um，从电流热效应角度来说，矩形脉冲电流跟直流是一样的了.

4锯齿波式交流

锯齿波式交流如图6所示，可作为显示器和示波器的扫描电压.锯齿波式交流与三角波式交流有类似，也有不同.三角波电压先是线性上升的形式，然后是电压线性下降，呈现出对称状态，如图3；而锯齿波式电压先是线性上升后即刻变为零，再线性上升，再即刻变为零，如此反复.它们的有效值推导过程基本一样，参考上述三角波式交流有效值的推导过程，即锯齿波式交流电有效值U=Um3.

从上面的推导过程可以看出，不管是何种交流电，其有效值的的推导都是根据有效值的定义.这个思路对了，剩下的就是数学问题了.

以上这四种交流电中，三角波式交流、锯波式交流和锯形脉冲电流等是非正弦式交流，实质是脉冲波形交流，主要应用在电子电路中，一般可以通过电容C和电感L的充放电来得到.它们之间是可以相互转化的：矩形波积分是三角波，三角波微分是矩形波.三角波再多次积分就可以得到正弦波，或者经过二极管网络转化.正弦波通过施密特触发器或比较器可转换为方波.三角波的电容充放电时间相等；若电容充放电时间不等而且相差很大，便产生锯齿波.由上面的介绍可知，正弦式交流是最简单又最基本的交变电流，在电力系统中应用的最多.