合情推理模式在数列习题教学中的价值
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摘 要：不少省市进行新课改已经多年了，无论是对教材内容还是对教师在教学中所扮演的角色都较以往有了很大的改变． 如苏教版引入了合情推理及演绎推理这一章，笔者就这一章的引入的意义认真做了思考，以及如何在数列教学中挖掘合情推理模式即在以后教学中的此价值如何运用做了较为深刻的探索．
关键词：合情推理；数列；归纳类比
美国著名的数学家数学教育家G·波利亚说过：“创造的过程是一个艰苦曲折的过程，数学家创造性的工作是论证推理即证明，但这个证明是通过合情推理而发现的．” 不少省市进行新课改已经多年了，无论是在教材还是教法上和以前传统的教育教学有了很大的改变．从教材的角度来看，新教材在去掉旧教材诸多繁冗的知识点之外，又引入了一些新的章节，如算法、导数、推理证明等等． 对这种在教材内容上的重大改革，开始之初非议之声不绝于耳． 很多反对之声不乏著名的数学教育者及教师，尤其是谈到推理与证明这一章时不少人认为这一章是没有必要的，认为我们平时在做题、讲题时不就在用它吗，感觉这一章的引入是多此一举． 笔者认为不然，想想远古人类第一次用火做饭烤肉时，有多少人能够明白生火的原理所在呢？笔者恰恰认为这是新课改在教材改革上的重大飞跃之一，从知识传授转而向方法上的传授． 在数学的教育教学中应当灌输方法论的教育． 笔者在进行数列习题教学中，在这一方面作了一些探讨，下面就以用两个案例来展示笔者在习题教学上的一些实际操作．
案例1：已知数列｛ａn｝的前n项和Sn满足Sn=n2+bn（b为常数），且对于任意的k∈N*，ak，a2k，a4k成等比数列，数列的前n项和为Tn（n∈N*）．
（1）求数列｛ａn｝的通项公式．
（2）求使不等式Tn
（3）试求出所有的正整数m，n（2
教学分析：笔者通过教学设计了一段师生之间理想式的谈话．
学生：第1问比较简单，已知数列的前n项和Sn求数列通项公式an只需用递推式an=S1，n=1，Sn－Sn-1，n≥2 推出an=2n+b－1；然后根据恒等式?坌k∈N*，a=ak·a4k得b=1，则有an=2n；至于第1问那就更为熟悉了，因为数列｛ａn｝是等差数列，所以对于数列的前n项和用裂项相消法即可，推算出Tn=；
教师：第一问和第二问处理起来相对容易些，因为所涉及的知识点相对熟悉些，我们在平时的复习中也进行过类似的训练，那么对于第3问我们应当如何处理？这样的问题我们熟悉吗？
学生：这个问题平时我们在数列学习中不太熟悉，但是根据题目的条件T2，Tm，Tn成等比数列，能列出相应的等式T=T2·Tn；即有2=，稍微处理一下得=；下面该如何处理就不得而知了？
教师：不可否认从知识点的角度来看我们已经尽力了，不能够继续进行的缘故是相应方法或者知识点的缺失． 我们对于这种类型的推理题该如何处理？其解决手段在选修课本中做了一些介绍，如合情推理与演绎推理，对于这两种形式的推理方式相应的作用就不必多说了，简单地来说合情推理是发散的思维模式，有助于我们发现解决问题的方法；演绎推理是收敛的思维模式，能够帮助我们得出正确的结论！
学生：对于这样一道推理题我们应当用什么样的合情推理来发现这一问题的解决呢？是归纳还是类比呢？
教师：问得很好！我想我们不妨两个角度都试一下，不过我突然想起现实生活中的有趣的事例，不妨试着去类比看看． （囚徒论）说有一位警察抓住了两个犯罪嫌疑人，想通过对他们的审讯交代自己所犯的罪行，如果你是那位警察该从怎样的空间、怎样的人物开始下手呢？
学生：我想应该先把两个犯罪嫌疑人分开即将其开关在不同的房间里，然后从他们中关系最简单、相对单纯的犯罪嫌疑人开始下手．
教师：（全班一阵欢笑）将他们分开关闭使他们信息分隔，有利于从心理将其一一击破，从最简单开始先审讯相对单纯的犯罪嫌疑人也似乎是合情合理的． 现在看看我们这道题的第3问所得的等式吧：=；如果我们将m，n看成是我们抓住的两个犯罪嫌疑人，从等式的角度来看m，n已经被关在不同的房间了． 现在我们要开始“逼供”了，请问先审m还是n呢？让谁先交代？
学生：当然是n啦．因为n看起来简单多了，可以先对n下手逼着它先交代m是谁？（全班又是一阵大笑）
教师：通过怎样的方式怎么让n交代呢？
学生：先将等式右边常数24移到左边去，即得到=；然后从等式的右边开始对n进行这样处理=
从上述案例中可知这道题解决的灵感来源于我们现实生活中的有趣的案例，事实上我们社会生活中有很多科技产品发明不少都是从其他自然界类比而产生的． 下面给出的数列习题的案例从另一种角度发现解题的思路，即从归纳推理的角度给出思路．
案例2：设｛an｝是公差不为零的等差数列，Sn为其前项和，满足a+a=a+a，S7=7．
（1）求数列｛an｝的通项公式及前n项和Sn；
（2）试求所有的正整数m，使得为数列｛an｝中的项．
教学分析：同样笔者通过教学设计了一段师生之间理想式的谈话．
学生：第1问相对较简单，只是涉及数列基本量计算，设首项为a1，公差为d代入所给的两个等式a+a=a+a，S7=7中去就可以了．
教师：直接这样做对于第一个等式可能麻烦一些，不妨将其转化成a－a=a－a，即有（a2+a5）（a2－a5）=（a4+a3）（a4－a3）． 由性质得－3d（a4+a3）=d（a4+a3），因为d≠0，所以a4+a3=0，即2a1+5d=0．
学生：这样做法确实不错，运算上简化了，又由S7=7得7a1+d=7，这样算出a1=－5，d=2，所以数列｛an｝的通项公式为an=2n－7，前n项和Sn=n2－6n．
教师：现在我们可以将精力放在对第2问的思考上，怎么办？对于式子打算怎么办？
学生：我们可以先将式子等价转化为，判断此数是否为数列｛an｝中的项，只要看式子能否写成2n－7的形式，即寻求满足条件的正整数m，n使等式=2n－7成立．
教师：对上述等式能否像上一案例那样去寻求解题的思路呢？
学生：（学生思考）好像不行，对n处理不能将其等式放缩，无法将其等式转化为不等式．
教师：我们要明白有关此类数列的推理题，思维不能只局限在一个小圈圈内，如果实在想不出具体的方案那就先猜猜吧！从简单的开始比方说m=1，2，3，4，5，6…试试吧？
学生：认真计算发现m=1，2，3，4，5，6时相应项的值分别为－15，3，－，，，；经过仔细判断六个数中只有m=2时符合要求，即m=2时等式为3，算出此数为数列｛an｝中的第五项．
教师：除此之外，难道我们就没有别的收获了吗？要明白此等式为数列｛an｝中的项首要条件必须是整数才行．
学生：哦！明白些了，我发现从m=3，4，5，6也许往后的数都是分数吧！好像我们应该来说明这一点才对．不错！应该是这样的！
教师：很好！这确实是一个不错的点子．该如何说明这一点呢？等式要成为整数该满足怎样的条件？
学生：首先要将等式写成这样的形式为好即，为了便于书写不妨令2m－3=t，从而==t+－6，所以t为8的约数，因为t是奇数，所以t可取值为±1，当t=1，m=2符合要求．t=－1，m=1时不符合要求．所以满足条件的正整数m=2．
上述案例从另外一个角度即归纳推理的方式给出了如何解决此类数列问题的思维模式． 笔者以为合情推理尤其是归纳、类比推理模式在发现问题、解决问题中扮演着重要的角色． 作为一名数学教师应当在今后的数学教育教学中将此类推理模式的理念深深地扎在学生的心中． 总之一句话，教师应当做到授人以鱼，不如授人以渔的职业规范．