数学教学中运用数学习题发展学生思维能力略谈

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数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，是通过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。

数学有着它自身的特点：（1）高度的抽象性；（2）严谨的逻辑性；（3）应用的广泛性；（4）内涵的辩证性。由此可见，学习数学不仅要有实际生活中的数量关系和空间形式的感性经验，而且更要有较强的思维能力。以数学知识为载体，通过对思维的激化与调控，有效地提高学生的数学思维，成为当前数学教师在教学中应当高度关注的问题。

挖掘教材，培养学生转化数学问题能力，形成良好的应用意识

笔者认为要潜心钻研教材，挖掘教材与生活的结合点，再科学设计教学环节，关键是对课堂教学中的预设问题和生成问题都要平等认真地对待。预设问题是教师结合教学经验预见到的学生可能出现的问题和思维盲点，而生成问题则是学生真切出现的急须解决的问题。

如教学“一次函数与二元一次方程组”一课，我将与学生生活实际密切相关的电话费用问题作为例题，拉近数学与学生生活的距离。

一家电信公司给顾客提供两种手机收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按通话时间计费。你会选择哪种收费方式？为什么？有的学生选A，有的学生选B，并在我的引导下展开研究，最终将实际问题转化成数学问题研究，并找到了解决问题的方法――用函数观点分析问题解决问题。一切进行得那么顺利，连学生可能出现的问题我都预见到了，自然解决得也很轻松。对例题的分析、讲解、书写，我认为我的示范很到位，所有学生应该都掌握了这个方法，没想到在请一个基础扎实的学生板书练习时却出现了一个我认为不是问题的问题，而这个在我看来不是问题的问题真的就是大多数学生思维的盲点――单位长度不会取，图像画不出来，400分钟在哪找？根据学生出现问题的需要，我及时调整教学重难点。由于是决策类实际问题，横纵轴的实际意义不同，所以单位长度的选取可以根据实际经验来确定，横轴以100分钟为一个单位长度，纵轴以10分钟为一个单位长度。再用方程观点求函数图像交点，过起点和交点做射线，这样大部分学生都有章可循地画出了图像，并结合图像给出了正确的决策。解决学生问题的同时更好地完成了教学目标。其实，这个问题也可以更简单地解决，就是求出起点和交点坐标，画射线即可，单位长度可以忽略，只不过本节课是初次研究决策类问题，所以我对学生解决问题的各个环节要求得比较细致、严谨。这种方法我并没有在本节课中示范给学生，对于简单方法的介绍放在了习题课中。

教师在教学时应做个有心人，深挖教材，深研学生，充分利用教材提供的丰富资源，合理、灵活地去运用，在尊重教材的基础上从学生熟悉的生活情境出发，运用学生关注和感兴趣的实例作为认识的背景，激发学生的求知欲，使学生感受到数学就在自己的身边，与现实世界有紧密联系。

多角度思考，培养解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神

在实践与探索中，笔者认为给学生提供开放性的问题，鼓励学生多角度思考能有效地发展实践能力与创新精神。策略一，在问题的呈现上，应注重提供适量的信息，而不一定是全部的信息，信息的呈现不一定一次到位，可以分步呈现，或让学生自主寻求，使每个学生自主寻求，使每个学生都成为提供信息的主体，变以往学生坐着等信息为主动提供，获取有用的信息；策略二，创设问题，使问题的解不唯一，激发学生探究欲望。

如在讲“角的度量”一课，以前进行教学设计时是根据我的经验将书中的内容讲述清楚、学生能够了解会解题就行了。现在，我在进行教学设计之前都要通过问题反馈单征求学生意见。学生提出了3个共性问题：如何比较两个角的大小？怎么计算角的和、差？什么是角的平分线？我尊重学生提出的问题并把它们设置为教学的重点难点，站在学生的角度理解他们的思维层次、思维活动方式及学习的障碍点，设计了一个探究活动，就是借助三角板的特殊角拼画特殊度数的角，并着重研究了15°、75°、165°角的拼画。在拼画过程中，学生掌握了如何比较两个角的大小，理解了角的和、差的计算方法，清楚了什么是角平分线以及它的作用。

大部分学生都按部就班地模仿拼画出了11个小于平角的特殊度数的角，我任意选出一个角（165°的角）研究它的形成，学生都是按图2方式3次利用三角板特殊度数的角拼画的。只有一位学生提出了她不同的看法，就是按照图1的方式也可以拼画出165°的角（∠AGE=165°）。当时学生还不能解释其中的原因，只能用量角器度量，量出是165°。其实，其中运用到的正是下学期所要学的7.2.1三角形的内角、7.2.2三角形的外角的知识。虽然这位同学的拼画方式不符合我们提出的要求（即用三角板的角拼画），但我也非常欣赏这位学生精妙的思维，并在全班同学面前鼓励、表扬了她。

在下学期学习三角形部分知识时，我刻意拿出了当时解释不了的问题继续研究。若将两个三角板ACB（∠A=30°， ∠ABC=60°，∠ACB=90°）和三角板DFE（∠FDE=45°，∠E=45°，∠DFE=90°）按如图1方式放置，则∠AGE的度数为（ ） 。

学生有的静静思考，有的组成研讨小组。这道在原来认为很难的题最终被学生解决了，并且是全员性的参与解决，这大大提高了课堂的学习效率。学生自己解决了这个问题，他们开心极了，每个人都体会到了成功的喜悦。同时他们也感受到了老师尊重并重视了他们思维的快乐。

数学具有严密的逻辑性，前后知识联系紧密，某一新知识点往往是前一部分知识的拓展延伸，同时又是以后要学习知识的基础。因此，学生在学习的过程中必须打牢知识基础，将整个知识体系融会贯通，这样才能使自己的思维能力得到提升。

遵循认知规律，培养学生数学思维能力，搭建最近发展区

让学生自己反思，从而灵活地运用知识解决数学问题，在独立探索和合作探究的基础上，让学生用自己的语言试着阐述自己的探究过程并得出结论，使教师以及学生相互间了解他们真实的思维活动。鼓励引导学生进行积极的交流和自我检查、自我反省，逐步体验成功。坚信学生通过自身的情感体验和主动参与，必能不断增强他们的自信。同时，研究信息、主动探究是学生发散思维的过程，为使学生主体的认知结构更趋向稳定和加强，使主体对知识的理解更加透彻和深刻，因此，在充分发散的基础上，教师应诊视学生思维过程中的每一个“成功点”所蕴涵的数学思想及解题策略，并尽可能及时地让学生表达出来，及时地总结、归纳，使这些数学思想及解题策略及时纳入到学生的数学认知结构中去。让学生运用所理解的知识解决一些实际问题，使学生进一步巩固对新知识的理解和掌握，同时和原有认知结构中的相关知识相互作用，把新知识纳入或整合到已有的认知结构中，从而更利于知识的迁移和运用。

在期末复习阶段，学生时常提出一些不会的习题以及这里蕴涵的知识点，可这些并不能引起所有学生的兴趣。一次无意中我向学生提起“前几天我市举行了教师解题大赛，其中有一些是关于初一新教材的题”，有几个学生很有兴致地问：“老师，考你们老师的题一定很难吧？”我说：“不太难，挺常规的。”“老师，那都考些什么呀？”其实此时的学生并不是对考题感兴趣，而是想看一看平时总考他们的老师是怎么被考住的。我凭印象说了一道题：如下图，一长方体各边长分别为9，6，3，现要将其分割成3块大小完全相同的长方体，有多少种不同的分割方法？

说完题后又补充道：“不知道原题是不是这样，我记得好像是。”第二天，我一进教室，学生问我的第一个问题就是“老师，你把原题带来了吗？答案是什么？”我拿出了原题，但没有说出答案，心想：这个题不太容易想，不可能有人做对，刁难一下他们。学生有的静静思考着，有的组成研讨小组。一个平时成绩并不高的男生最终说出正确答案“有四种”，并且为大家讲解。学生们自己解决了这个问题，他们开心极了。此时有些学生给我提出建议，其他题也给他们看看。我顺水推舟给他们一些习题，道道有难度，甚至有的题已达到中考难度。可学生却有初生牛犊不怕虎的精神，认真地钻研着。我想这就是他们需要的，也恰恰是我应该给予的。数学课上，我没有按部就班地讲练习册，而是应学生的要求与他们共同研究起这些习题，学生能讲明白的题坚决不用我费唇舌，理解起来有困难的题就由我来点拨。这些我认为的难题最终被攻破了，可学生并不觉得特难，还说很有趣。此刻我真的体会到：逼学生学枯燥的、厌烦的知识，不难也难，事倍功半；遵循认知规律，激发学生兴趣，培养学生数学思维能力，带学生学有趣的、需要的知识，难也不难，事半功倍。

这样，学生从熟知的问题入手，逐步接近问题的终点，每次跳出一小步，最后完成了一大步，不太吃力地体验到了发现的快乐，增加了学习的兴趣和自信心，发展了他们的思维能力。