建构几何光学模型巧解力学问题

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1657年，法国数学家费马首先提出，光总沿所需时间为极值的路径传播，此规律后来被称为费马原理.直线是两点间最短的线，如果光线从同种均匀介质的A点传播到B点，那么光的直线传播定律就是费马原理的简单推论.此外，几何光学中的两大基本定律――光的反射定律和折射定律也可由费马原理导出.其实，在一些力学问题中，若能巧妙建构几何光学模型，灵活应用费马原理，可能会收到意想不到的效果，且看以下几例.

1建构光的反射模型巧解力学问题

光的反射定律指出，光反射时，反射光线与入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居在法线的两侧，反射角等于入射角.

2建构光的折射模型巧解力学问题

光的折射定律提出，光折射时，折射光线、入射光线和法线在同一平面内，折射光线和入射光线分居在法线的两侧，入射角的正弦值与折射角的正弦值成正比.

例2某个骑兵必须从A处出发到C处的队的本部报到（具体数据如图5所示）.不过从A处到C处之间，必须过沙地带和草地带（以直线EF为界划分草地和沙地）.在草地上，马的速度为在沙地上的3倍.此时，这个骑兵必须采取何种路线，才能在最短时间内到达队的本部呢？

即骑兵必须按照以上路线才能在最短时间内到达队的本部.

显然，求解力学中这类运动时间极值问题时，若能巧妙建构光的折射模型，与常规的解法相比，解题过程得到了大大简化，此解法的优越性不言而喻！

3建构光的全反射模型巧解力学问题

当光从光密介质1射入光疏介质2时，如果入射角大于或等于临界角C，就会发生全反射现象，其中临界角C与折射率的关系是：sinC=n2n1.

例3如图7所示，一辆小车在轨道MN上行驶的速度v1可达到50 km/h，与轨道外的平地上行驶速度v2可达到40 km/h，与轨道的垂直距离为30 km的B处有一基地，问小车从基地B出发到离D点（BDMN）100 km的A处的过程中最短需要多少时间？

解析本题也是运动学中求时间极值的问题，常规解法也是导出时间的函数表达式进而求极值.但冷静分析会发现，本题情景和光的全反射模型极其相似.如果把MN看成两种介质的分界面，显然本题所求时间的临界问题，实际上是光从光密介质射向光疏介质恰好发生全反射的临界问题.设图7中的角C即为临界角，则沿OA方向运动就相当于折射角为90°，当小车按照光恰好发生全反射的路径运动时，时间一定最短！

本题比例2可能更难联想到建构几何光学模型求解，但此解法令人有豁然开朗、拍案叫绝之感，更能感受到建构几何光学模型解决力学问题的绝妙！

综上所述，在研究某些力学问题时，如果敏锐地发现题中描述的情景和几何光学的反射模型、折射模型、全反射模型等有相似之处时，可以尝试建构几何光学中对应的模型求解，这样不仅可以大大提高解题的速度，还可以把似乎毫不相关的力学、光学知识有机地联系了起来，令人更加体会到自然界的统一与和谐.